$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$ , $y = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3 + y^3$ (3) $x^3 y - x^2 y^2 + x y^3$

代数学式の計算平方根有理化因数分解展開
2025/5/17

1. 問題の内容

x=12+1x = \frac{1}{\sqrt{2}+1} , y=121y = \frac{1}{\sqrt{2}-1} のとき、以下の式の値を求めよ。
(1) x2+y2x^2 + y^2
(2) x3+y3x^3 + y^3
(3) x3yx2y2+xy3x^3 y - x^2 y^2 + x y^3

2. 解き方の手順

まず、xxyyを簡単にします。
x=12+1=21(2+1)(21)=2121=21x = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1
y=121=2+1(21)(2+1)=2+121=2+1y = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1
次に、x+yx+yxyxy の値を求めます。
x+y=(21)+(2+1)=22x+y = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}
xy=(21)(2+1)=21=1xy = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 2-1 = 1
(1) x2+y2x^2 + y^2 を計算します。
x2+y2=(x+y)22xy=(22)22(1)=82=6x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{2})^2 - 2(1) = 8 - 2 = 6
(2) x3+y3x^3 + y^3 を計算します。
x3+y3=(x+y)(x2xy+y2)=(x+y)((x+y)23xy)=(22)((22)23(1))=(22)(83)=102x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = (2\sqrt{2})((2\sqrt{2})^2 - 3(1)) = (2\sqrt{2})(8 - 3) = 10\sqrt{2}
(3) x3yx2y2+xy3x^3 y - x^2 y^2 + x y^3 を計算します。
x3yx2y2+xy3=xy(x2xy+y2)=xy((x+y)23xy)=1((22)23(1))=1(83)=5x^3 y - x^2 y^2 + x y^3 = xy(x^2 - xy + y^2) = xy((x+y)^2 - 3xy) = 1((2\sqrt{2})^2 - 3(1)) = 1(8 - 3) = 5

3. 最終的な答え

(1) x2+y2=6x^2 + y^2 = 6
(2) x3+y3=102x^3 + y^3 = 10\sqrt{2}
(3) x3yx2y2+xy3=5x^3 y - x^2 y^2 + x y^3 = 5

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