次の計算問題を解きます。 $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}$

次に、分母を展開します。これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使います。

$(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$

したがって、

$\frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$