次の計算問題を解きます。 $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

代数学式の計算有理化平方根
2025/5/17

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。
17+5×175\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。
17+5×175=1(7+5)(75)\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}
次に、分母を展開します。これは和と差の積の公式 (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 を使います。
(7+5)(75)=(7)2(5)2=75=2(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2
したがって、
1(7+5)(75)=12\frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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