与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $(1+\sqrt{3}i)^6$ (2) $(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)^7$ (3) $(\frac{3+\sqrt{3}i}{2})^{-4}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $(1+\sqrt{3}i)^6$

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)^7$

(3) $(\frac{3+\sqrt{3}i}{2})^{-4}$

2. 解き方の手順

(1) $(1+\sqrt{3}i)^6$ の計算

複素数を極形式で表し、ド・モアブルの定理を利用します。

$1+\sqrt{3}i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$r = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\cos\theta = \frac{1}{2}, \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、$1+\sqrt{3}i = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$

$(1+\sqrt{3}i)^6 = [2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})]^6 = 2^6(\cos\frac{6\pi}{3} + i\sin\frac{6\pi}{3}) = 64(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 64(1+0i) = 64$

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)^7$ の計算

$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = -\frac{1}{2}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

よって、$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})$

$(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)^7 = [\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})]^7 = \cos(-\frac{7\pi}{6}) + i\sin(-\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

(3) $(\frac{3+\sqrt{3}i}{2})^{-4}$ の計算

$\frac{3+\sqrt{3}i}{2} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$r = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$\cos\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$

よって、$\frac{3+\sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

$(\frac{3+\sqrt{3}i}{2})^{-4} = [\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})]^{-4} = (\sqrt{3})^{-4}(\cos(-\frac{4\pi}{6}) + i\sin(-\frac{4\pi}{6})) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^4(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{9}(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{9}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{18} - \frac{\sqrt{3}}{18}i$

3. 最終的な答え

(1) 64

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

(3) $-\frac{1}{18}-\frac{\sqrt{3}}{18}i$