次の3つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$ (3) $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2n-1) \cdot 2n$

はい、承知いたしました。問題文に沿って回答します。

1. 問題の内容

次の3つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$

(3) $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2n-1) \cdot 2n$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$

まず、展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3)$

$= \frac{n(n+1)}{6} (2n+4)$

$= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$

これは、$n$ を $k$ と関係ない定数とみなすと、$\sum$ の前に出すことができます。

$\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1} = n \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$ は、初項 1、公比 2 の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1} = n(2^n - 1)$

(3) $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2n-1) \cdot 2n$

この数列の一般項は $(2k-1)(2k) = 4k^2 - 2k$ と表すことができます。したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 2k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k$

$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{3} (2(2n+1) - 3)$

$= \frac{n(n+1)}{3} (4n + 2 - 3)$

$= \frac{n(n+1)(4n-1)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $n(2^n - 1)$

(3) $\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}$