次の3つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}$ (3) $1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2n-1) \cdot 2n$

代数学数列シグマ等比数列等差数列和の公式
2025/5/17
はい、承知いたしました。問題文に沿って回答します。

1. 問題の内容

次の3つの和を求める問題です。
(1) k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)
(2) k=1nn2k1\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}
(3) 12+34+56++(2n1)2n1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2n-1) \cdot 2n

2. 解き方の手順

(1) k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)
まず、展開します。
k=1nk(k+1)=k=1n(k2+k)\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
したがって、
k=1n(k2+k)=n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}
=n(n+1)6(2n+1+3)= \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3)
=n(n+1)6(2n+4)= \frac{n(n+1)}{6} (2n+4)
=n(n+1)(n+2)3= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}
(2) k=1nn2k1\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1}
これは、nnkk と関係ない定数とみなすと、\sum の前に出すことができます。
k=1nn2k1=nk=1n2k1\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1} = n \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}
k=1n2k1\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} は、初項 1、公比 2 の等比数列の和なので、
k=1n2k1=1(2n1)21=2n1\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1
したがって、
k=1nn2k1=n(2n1)\sum_{k=1}^{n} n \cdot 2^{k-1} = n(2^n - 1)
(3) 12+34+56++(2n1)2n1 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + \dots + (2n-1) \cdot 2n
この数列の一般項は (2k1)(2k)=4k22k(2k-1)(2k) = 4k^2 - 2k と表すことができます。したがって、
k=1n(4k22k)=4k=1nk22k=1nk\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 2k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n} k
=4n(n+1)(2n+1)62n(n+1)2= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}
=2n(n+1)(2n+1)3n(n+1)= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n(n+1)
=n(n+1)3(2(2n+1)3)= \frac{n(n+1)}{3} (2(2n+1) - 3)
=n(n+1)3(4n+23)= \frac{n(n+1)}{3} (4n + 2 - 3)
=n(n+1)(4n1)3= \frac{n(n+1)(4n-1)}{3}

3. 最終的な答え

(1) n(n+1)(n+2)3\frac{n(n+1)(n+2)}{3}
(2) n(2n1)n(2^n - 1)
(3) n(n+1)(4n1)3\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}

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