与えられた複数の式の二重根号を外して、式を簡単にします。具体的には、(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$、(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$、(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$、(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複数の式の二重根号を外して、式を簡単にします。具体的には、(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$、(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$、(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$、(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ について

まず、$\sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$と変形します。すると、$\sqrt{9+2\sqrt{14}}$ となります。

ここで、$a+b=9$ かつ $ab=14$ となる $a$ と $b$ を探します。$a=7$、$b=2$ が条件を満たすので、

$\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$ となります。

(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ について

$6\sqrt{2} = 2 \times 3\sqrt{2} = 2 \sqrt{9 \times 2} = 2\sqrt{18}$と変形します。すると、$\sqrt{11-2\sqrt{18}}$ となります。

ここで、$a+b=11$ かつ $ab=18$ となる $a$ と $b$ を探します。$a=9$、$b=2$ が条件を満たすので、

$\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$ となります。

(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ について

$\sqrt{4-\sqrt{15}}$ を $\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}}$ と変形します。

ここで、$a+b=8$ かつ $ab=15$ となる $a$ と $b$ を探します。$a=5$、$b=3$ が条件を満たすので、

$\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$ となります。

(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ について

$\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を $\sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}}{2}}$と変形します。

$6\sqrt{3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{9\times3} = 2\sqrt{27}$

$\sqrt{\frac{12-2\sqrt{27}}{2}}$

ここで、$a+b=12$ かつ $ab=27$ となる $a$ と $b$ を探します。$a=9$、$b=3$ が条件を満たすので、

$\sqrt{\frac{12-2\sqrt{27}}{2}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(3) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

(4) $3-\sqrt{2}$

(5) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(6) $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$