与えられた複数の式の二重根号を外して、式を簡単にします。具体的には、(3) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$、(4) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$、(5) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$、(6) $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を計算します。

代数学根号二重根号式の計算平方根
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた複数の式の二重根号を外して、式を簡単にします。具体的には、(3) 9+56\sqrt{9+\sqrt{56}}、(4) 1162\sqrt{11-6\sqrt{2}}、(5) 415\sqrt{4-\sqrt{15}}、(6) 633\sqrt{6-3\sqrt{3}} を計算します。

2. 解き方の手順

(3) 9+56\sqrt{9+\sqrt{56}} について
まず、56=4×14=214\sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}と変形します。すると、9+214\sqrt{9+2\sqrt{14}} となります。
ここで、a+b=9a+b=9 かつ ab=14ab=14 となる aabb を探します。a=7a=7b=2b=2 が条件を満たすので、
9+214=7+2\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7} + \sqrt{2} となります。
(4) 1162\sqrt{11-6\sqrt{2}} について
62=2×32=29×2=2186\sqrt{2} = 2 \times 3\sqrt{2} = 2 \sqrt{9 \times 2} = 2\sqrt{18}と変形します。すると、11218\sqrt{11-2\sqrt{18}} となります。
ここで、a+b=11a+b=11 かつ ab=18ab=18 となる aabb を探します。a=9a=9b=2b=2 が条件を満たすので、
11218=92=32\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2} となります。
(5) 415\sqrt{4-\sqrt{15}} について
415\sqrt{4-\sqrt{15}}82152\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} と変形します。
ここで、a+b=8a+b=8 かつ ab=15ab=15 となる aabb を探します。a=5a=5b=3b=3 が条件を満たすので、
82152=532=1062\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2} となります。
(6) 633\sqrt{6-3\sqrt{3}} について
633\sqrt{6-3\sqrt{3}}12632\sqrt{\frac{12-6\sqrt{3}}{2}}と変形します。
63=2×33=29×3=2276\sqrt{3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{9\times3} = 2\sqrt{27}
122272\sqrt{\frac{12-2\sqrt{27}}{2}}
ここで、a+b=12a+b=12 かつ ab=27ab=27 となる aabb を探します。a=9a=9b=3b=3 が条件を満たすので、
122272=932=332=3262\sqrt{\frac{12-2\sqrt{27}}{2}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2} となります。

3. 最終的な答え

(3) 7+2\sqrt{7}+\sqrt{2}
(4) 323-\sqrt{2}
(5) 1062\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}
(6) 3262\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}

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