数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は2つ与えられており、それぞれ(1)と(2)で示されています。

代数学数列一般項階差数列等差数列等比数列
2025/5/17

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} の一般項を求める問題です。数列は2つ与えられており、それぞれ(1)と(2)で示されています。

2. 解き方の手順

(1) 数列 3, 4, 7, 12, 19, 28, ... の一般項を求めます。
階差数列を考えると、1, 3, 5, 7, 9, ... となり、これは初項1、公差2の等差数列です。
したがって、階差数列の一般項 bnb_nbn=1+(n1)2=2n1b_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1 となります。
元の数列の一般項 ana_n は、 n2n \ge 2 のとき
an=a1+k=1n1bk=3+k=1n1(2k1)=3+2k=1n1kk=1n11a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1
an=3+2(n1)n2(n1)=3+n2nn+1=n22n+4a_n = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 4
n=1n=1 のとき a1=122(1)+4=3a_1 = 1^2 - 2(1) + 4 = 3 となり、これは与えられた数列の初項と一致します。
したがって、n1n \ge 1an=n22n+4a_n = n^2 - 2n + 4 が成り立ちます。
(2) 数列 -2, -4, 0, -8, 8, -24, ... の一般項を求めます。
階差数列を考えると、-2, 4, -8, 16, -32, ... となり、これは初項-2、公比-2の等比数列です。
したがって、階差数列の一般項 bnb_nbn=2(2)n1=(2)nb_n = -2 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n となります。
元の数列の一般項 ana_n は、n2n \ge 2 のとき
an=a1+k=1n1bk=2+k=1n1(2)k=2+2{1(2)n1}1(2)=2+2+2(2)n13a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = -2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^k = -2 + \frac{-2\{1-(-2)^{n-1}\}}{1-(-2)} = -2 + \frac{-2 + 2(-2)^{n-1}}{3}
an=223+23(2)n1=83+23(2)n1=83+23(2)n2=8313(2)na_n = -2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1} = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1} = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{(-2)^n}{-2} = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^n
an=83+(2)n1×23=8+2(2)n13=4×2+(2)n3a_n = -\frac{8}{3} + \frac{(-2)^{n-1}\times 2}{3} = \frac{-8+2\cdot(-2)^{n-1}}{3} = \frac{-4 \times 2 + (-2)^{n}}{3}
an=23((2)n14)=23(2n1(1)n14)=2n+1(1)n126 a_n = \frac{2}{3}( (-2)^{n-1} - 4) = \frac{2}{3}(-2^{n-1} (-1)^{n-1} - 4) = \frac{ -2^{n+1} (-1)^n -12} {6}
n=1n=1のとき a1=8313(2)1=83+23=63=2a_1 = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^1 = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2となり、これは与えられた数列の初項と一致します。
したがって、n1n \ge 1an=8313(2)na_n = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^n が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) an=n22n+4a_n = n^2 - 2n + 4
(2) an=8313(2)na_n = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^n
あるいは
an=23((2)n14) a_n = \frac{2}{3}( (-2)^{n-1} - 4)
あるいは
an=8+2(2)n13a_n = \frac{-8+2\cdot(-2)^{n-1}}{3}

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