(1) 数列 3, 4, 7, 12, 19, 28, ... の一般項を求めます。
階差数列を考えると、1, 3, 5, 7, 9, ... となり、これは初項1、公差2の等差数列です。
したがって、階差数列の一般項 bn は bn=1+(n−1)2=2n−1 となります。 元の数列の一般項 an は、 n≥2 のとき an=a1+k=1∑n−1bk=3+k=1∑n−1(2k−1)=3+2k=1∑n−1k−k=1∑n−11 an=3+22(n−1)n−(n−1)=3+n2−n−n+1=n2−2n+4 n=1 のとき a1=12−2(1)+4=3 となり、これは与えられた数列の初項と一致します。 したがって、n≥1 で an=n2−2n+4 が成り立ちます。 (2) 数列 -2, -4, 0, -8, 8, -24, ... の一般項を求めます。
階差数列を考えると、-2, 4, -8, 16, -32, ... となり、これは初項-2、公比-2の等比数列です。
したがって、階差数列の一般項 bn は bn=−2⋅(−2)n−1=(−2)n となります。 元の数列の一般項 an は、n≥2 のとき an=a1+k=1∑n−1bk=−2+k=1∑n−1(−2)k=−2+1−(−2)−2{1−(−2)n−1}=−2+3−2+2(−2)n−1 an=−2−32+32(−2)n−1=−38+32(−2)n−1=−38+32⋅−2(−2)n=−38−31(−2)n an=−38+3(−2)n−1×2=3−8+2⋅(−2)n−1=3−4×2+(−2)n an=32((−2)n−1−4)=32(−2n−1(−1)n−1−4)=6−2n+1(−1)n−12 n=1のとき a1=−38−31(−2)1=−38+32=−36=−2となり、これは与えられた数列の初項と一致します。 したがって、n≥1 で an=−38−31(−2)n が成り立ちます。