数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は2つ与えられており、それぞれ(1)と(2)で示されています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。数列は2つ与えられており、それぞれ(1)と(2)で示されています。

2. 解き方の手順

(1) 数列 3, 4, 7, 12, 19, 28, ... の一般項を求めます。

階差数列を考えると、1, 3, 5, 7, 9, ... となり、これは初項1、公差2の等差数列です。

したがって、階差数列の一般項 $b_n$ は $b_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、 $n \ge 2$ のとき

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$$

$$a_n = 3 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 4$$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 - 2(1) + 4 = 3$ となり、これは与えられた数列の初項と一致します。

したがって、$n \ge 1$ で $a_n = n^2 - 2n + 4$ が成り立ちます。

(2) 数列 -2, -4, 0, -8, 8, -24, ... の一般項を求めます。

階差数列を考えると、-2, 4, -8, 16, -32, ... となり、これは初項-2、公比-2の等比数列です。

したがって、階差数列の一般項 $b_n$ は $b_n = -2 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n$ となります。

元の数列の一般項 $a_n$ は、$n \ge 2$ のとき

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = -2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^k = -2 + \frac{-2\{1-(-2)^{n-1}\}}{1-(-2)} = -2 + \frac{-2 + 2(-2)^{n-1}}{3}$$

$$a_n = -2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1} = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3}(-2)^{n-1} = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{(-2)^n}{-2} = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^n$$

$$a_n = -\frac{8}{3} + \frac{(-2)^{n-1}\times 2}{3} = \frac{-8+2\cdot(-2)^{n-1}}{3} = \frac{-4 \times 2 + (-2)^{n}}{3}$$

$$a_n = \frac{2}{3}( (-2)^{n-1} - 4) = \frac{2}{3}(-2^{n-1} (-1)^{n-1} - 4) = \frac{ -2^{n+1} (-1)^n -12} {6}$$

$n=1$のとき $a_1 = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^1 = -\frac{8}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$となり、これは与えられた数列の初項と一致します。

したがって、$n \ge 1$ で $a_n = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^n$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 4$

(2) $a_n = -\frac{8}{3} - \frac{1}{3}(-2)^n$

あるいは

$a_n = \frac{2}{3}( (-2)^{n-1} - 4)$

あるいは

$a_n = \frac{-8+2\cdot(-2)^{n-1}}{3}$