(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0 \\ x^2 + 2x - 3 < 0 \end{cases}$ を解く。 (2) 不等式 $2x - 3 < x^2 - 4x \leq 4x - 7$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0 \\ x^2 + 2x - 3 < 0 \end{cases}$ を解く。

(2) 不等式 $2x - 3 < x^2 - 4x \leq 4x - 7$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの不等式を解く。

$x^2 + 3x + 2 > 0$ は $(x+1)(x+2) > 0$ と因数分解できる。

したがって、$x < -2$ または $x > -1$ である。

$x^2 + 2x - 3 < 0$ は $(x+3)(x-1) < 0$ と因数分解できる。

したがって、$-3 < x < 1$ である。

連立不等式の解は、これらの共通部分である。

$x < -2$ または $x > -1$ と $-3 < x < 1$ の共通部分は $-3 < x < -2$ または $-1 < x < 1$ である。

(2)

不等式 $2x - 3 < x^2 - 4x \leq 4x - 7$ は、次の2つの不等式に分解できる。

$\begin{cases} 2x - 3 < x^2 - 4x \\ x^2 - 4x \leq 4x - 7 \end{cases}$

1つ目の不等式: $2x - 3 < x^2 - 4x$

$x^2 - 6x + 3 > 0$

解の公式より $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

よって $x < 3 - \sqrt{6}$ または $x > 3 + \sqrt{6}$

2つ目の不等式: $x^2 - 4x \leq 4x - 7$

$x^2 - 8x + 7 \leq 0$

$(x-1)(x-7) \leq 0$

よって $1 \leq x \leq 7$

したがって、$x < 3 - \sqrt{6}$ または $x > 3 + \sqrt{6}$ と $1 \leq x \leq 7$ の共通部分を求める。

$3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.449 = 0.551$

$3 + \sqrt{6} \approx 3 + 2.449 = 5.449$

よって、$1 \leq x < 3 - \sqrt{6}$ または $3 + \sqrt{6} < x \leq 7$

3. 最終的な答え

(1) $-3 < x < -2$ または $-1 < x < 1$

(2) $1 \leq x < 3 - \sqrt{6}$ または $3 + \sqrt{6} < x \leq 7$