与えられた方程式 $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ を満たす整数解 $(x, y)$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ を満たす整数解 $(x, y)$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $y$ についての2次方程式と見て整理します。

$y^2 - (3x - 2)y + (2x^2 - x) = 0$

この $y$ についての2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が0以上である必要があります。

$D = (3x - 2)^2 - 4(2x^2 - x) = 9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 4x = x^2 - 8x + 4$

$D \ge 0$ であるから、$x^2 - 8x + 4 \ge 0$。

$y$ が整数解を持つためには、この判別式が完全平方数である必要があります。つまり、$x^2 - 8x + 4 = k^2$ (kは整数) となる必要があります。

この式を変形します。

$x^2 - 8x + 16 - 16 + 4 = k^2$

$(x - 4)^2 - 12 = k^2$

$(x - 4)^2 - k^2 = 12$

$(x - 4 - k)(x - 4 + k) = 12$

$x-4-k$ と $x-4+k$ は整数であるので、積が12となる整数の組を考えます。

$12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 4 \times 3 = 6 \times 2 = 12 \times 1 = (-1) \times (-12) = (-2) \times (-6) = (-3) \times (-4) = (-4) \times (-3) = (-6) \times (-2) = (-12) \times (-1)$

それぞれの組について $x$ と $k$ を求めます。$x - 4 - k = a$, $x - 4 + k = b$ とおくと、$ab=12$。

$2(x-4) = a + b$ より、$x = \frac{a+b}{2} + 4$

$2k = b-a$ より、$k = \frac{b-a}{2}$

$x$ と $k$ は整数なので、$a$ と $b$ は偶奇が一致している必要があります。

(1, 12), (3, 4), (4, 3), (12, 1), (-1, -12), (-3, -4), (-4, -3), (-12, -1) は $a$ と $b$ の偶奇が一致しないため除外します。

残りの組は (2, 6), (6, 2), (-2, -6), (-6, -2) です。

(a, b) = (2, 6) のとき、$x = \frac{2+6}{2} + 4 = 4+4 = 8$, $k = \frac{6-2}{2} = 2$

(a, b) = (6, 2) のとき、$x = \frac{6+2}{2} + 4 = 4+4 = 8$, $k = \frac{2-6}{2} = -2$

(a, b) = (-2, -6) のとき、$x = \frac{-2-6}{2} + 4 = -4+4 = 0$, $k = \frac{-6+2}{2} = -2$

(a, b) = (-6, -2) のとき、$x = \frac{-6-2}{2} + 4 = -4+4 = 0$, $k = \frac{-2+6}{2} = 2$

$x = 8$ のとき、$y^2 - (3(8) - 2)y + (2(8)^2 - 8) = 0$ より、$y^2 - 22y + 120 = 0$

$(y - 10)(y - 12) = 0$ より、$y = 10, 12$

$x = 0$ のとき、$y^2 - (3(0) - 2)y + (2(0)^2 - 0) = 0$ より、$y^2 + 2y = 0$

$y(y + 2) = 0$ より、$y = 0, -2$

したがって、整数解は $(8, 10), (8, 12), (0, 0), (0, -2)$ です。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (8, 10), (8, 12), (0, 0), (0, -2)$