## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題155：

(1) $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y - 3$ を因数分解する。

(2) $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ を満たす整数解 $(x, y)$ をすべて求める。

問題156：

$5x^2 + 2xy + y^2 - 4x + 4y + 7 = 0$ を満たす整数解 $(x, y)$ をすべて求める。

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2. 解き方の手順

**問題155 (1) の手順**

与式を $x$ について整理します。

$2x^2 - (3y+1)x + (y^2 + 2y - 3)$

定数項の $y^2 + 2y - 3$ を因数分解します。

$y^2 + 2y - 3 = (y+3)(y-1)$

与式全体が因数分解できると仮定して、$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると考えます。この時、$ac = 1$、$ad + bc = -(3y + 1)$、$bd = y^2 + 2y - 3 = (y+3)(y-1)$となるように、$a$, $b$, $c$, $d$ を決めます。

$y$の項の係数と定数項から、以下の組み合わせが考えられます。

$(2x + (1-y))(x + (-3-y))$または$(2x + (-3-y))(x+(1-y))$

$(2x -y + 1)(x - y - 3) = 2x^2 - 2xy - 6x - xy + y^2 + 3y + x - y - 3 = 2x^2 - 3xy + y^2 - 5x + 2y - 3$

符号が違うので、以下を試します。

$(2x + y - 1)(x - y + 3) = 2x^2 - 2xy + 6x + xy - y^2 + 3y - x + y - 3 = 2x^2 - xy -y^2 + 5x + 4y - 3$

これもうまくいきません。元の式を整理し直します。

$2x^2 - (3y+1)x + (y+3)(y-1)$

たすき掛けを考えると、

$(2x - (y-1))(x - (y+3)) = 2x^2 -2xy - 6x -xy +y^2 +3y -x + y +3 = 2x^2 -3xy + y^2 -7x + 4y + 3$

符号が違うので、

$(2x - (y+3))(x - (y-1)) = 2x^2 - 2xy +2x -xy +y^2 -y -3x + 3y -3 = 2x^2 -3xy +y^2 -x + 2y -3$

以上より、

$2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y - 3 = (2x - y - 3)(x - y + 1)$

**問題155 (2) の手順**

(1) の結果より、$2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ は $(2x - y - 3)(x - y + 1) = -3$ と変形できます。

$2x, y$ は整数なので、$2x - y - 3$ と $x - y + 1$ も整数です。したがって、$2x - y - 3$ と $x - y + 1$ は $-3$ の約数である必要があります。

$-3$ の約数は $-3, -1, 1, 3$ です。

したがって、次の4つの場合が考えられます。

(i) $2x - y - 3 = -3$ かつ $x - y + 1 = 1$

(ii) $2x - y - 3 = -1$ かつ $x - y + 1 = 3$

(iii) $2x - y - 3 = 1$ かつ $x - y + 1 = -3$

(iv) $2x - y - 3 = 3$ かつ $x - y + 1 = -1$

それぞれについて、連立方程式を解きます。

(i) $2x - y = 0$ かつ $x - y = 0$

$x = 0$, $y = 0$

(ii) $2x - y = 2$ かつ $x - y = 2$

$x = 0$, $y = -2$

(iii) $2x - y = 4$ かつ $x - y = -4$

$x = 8$, $y = 12$

(iv) $2x - y = 6$ かつ $x - y = -2$

$x = 8$, $y = 10$

**問題156 の手順**

与式を $y$ について整理します。

$y^2 + (2x + 4)y + (5x^2 - 4x + 7) = 0$

$y$ は整数なので、この $y$ に関する二次方程式の判別式 $D$ は完全平方数でなければなりません。

$D = (2x + 4)^2 - 4(5x^2 - 4x + 7) = 4x^2 + 16x + 16 - 20x^2 + 16x - 28 = -16x^2 + 32x - 12 = -4(4x^2 - 8x + 3)$

$D = -4(4x^2 - 8x + 3) = -4(2x - 1)(2x - 3)$

$D \ge 0$ である必要があるので、$(2x - 1)(2x - 3) \le 0$

したがって、$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

$x$ は整数なので、$x = 1$

$x = 1$ のとき、

$y^2 + 6y + 8 = 0$

$(y+2)(y+4) = 0$

$y = -2, -4$

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3. 最終的な答え

問題155 (1): $(2x - y - 3)(x - y + 1)$

問題155 (2): $(x, y) = (0, 0), (0, -2), (8, 12), (8, 10)$

問題156: $(x, y) = (1, -2), (1, -4)$