(1) $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y - 3$ を因数分解せよ。 (2) $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ を満たす整数解 $(x, y)$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

(1) $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y - 3$ を因数分解せよ。

(2) $2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ を満たす整数解 $(x, y)$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

与式を $x$ について整理すると、

$2x^2 + (-3y - 1)x + (y^2 + 2y - 3)$

$= 2x^2 - (3y+1)x + (y+3)(y-1)$

$= (2x - (y+3))(x - (y-1))$

$= (2x - y - 3)(x - y + 1)$

(2) 整数解を求める

(1) の結果より、$2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ は

$(2x - y - 3)(x - y + 1) = 3 - 3 = 0$と変形できる。

したがって、$2x - y - 3 = 0$ または $x - y + 1 = 0$ が成り立つ。

$2x - y - 3 = 0$ のとき、$y = 2x - 3$ である。

$x - y + 1 = 0$ のとき、$y = x + 1$ である。

$2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ に代入すると、

Case 1: $y = 2x - 3$のとき、

$2x^2 - 3x(2x - 3) + (2x - 3)^2 - x + 2(2x - 3) = 0$

$2x^2 - 6x^2 + 9x + 4x^2 - 12x + 9 - x + 4x - 6 = 0$

$-3x + 3 = 0$

$x = 1$

このとき、$y = 2(1) - 3 = -1$

よって、$(x, y) = (1, -1)$

Case 2: $y = x + 1$のとき、

$2x^2 - 3x(x + 1) + (x + 1)^2 - x + 2(x + 1) = 0$

$2x^2 - 3x^2 - 3x + x^2 + 2x + 1 - x + 2x + 2 = 0$

$0x^2 + 0x + 3 = 0$

これは、$0 = 3$ となり、解なし。

(1)の結果を使用せずに、

$(2x - y - 3)(x - y + 1) = 0$

Case 1: $2x - y - 3 = 0$のとき、$y = 2x - 3$

Case 2: $x - y + 1 = 0$のとき、$y = x + 1$

Case 1:

$(2x - y - 3)(x - y + 1) = 0$ に $y = 2x - 3$ を代入すると、

$(2x - (2x - 3) - 3)(x - (2x - 3) + 1) = 0$

$(2x - 2x + 3 - 3)(x - 2x + 3 + 1) = 0$

$(0)(-x + 4) = 0$

$0 = 0$

これだけでは$x$の値が定まらない。

$2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ に $y = 2x - 3$ を代入して、$x = 1$ が得られる。

Case 2:

$(2x - y - 3)(x - y + 1) = 0$ に $y = x + 1$ を代入すると、

$(2x - (x + 1) - 3)(x - (x + 1) + 1) = 0$

$(2x - x - 1 - 3)(x - x - 1 + 1) = 0$

$(x - 4)(0) = 0$

$0 = 0$

これも$x$の値が定まらない。

$2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y = 0$ に $y = x + 1$ を代入して、$0 = 3$ を得たので、解なし。

したがって、$x = 1$, $y = 2(1) - 3 = -1$のみ。

3. 最終的な答え

(1) $(2x - y - 3)(x - y + 1)$

(2) $(x, y) = (1, -1)$