等式 $\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

等式 $\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を通分する。

$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} = \frac{a(x-1) + b(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{ax - a + bx + 2b}{(x+2)(x-1)} = \frac{(a+b)x + (-a+2b)}{(x+2)(x-1)}$

したがって、

$\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{(a+b)x + (-a+2b)}{(x+2)(x-1)}$

この等式が恒等式であるためには、分子同士が等しくなければならない。

すなわち、

$5x+1 = (a+b)x + (-a+2b)$

$x$ の係数と定数項を比較して、以下の連立方程式を得る。

$a+b = 5$

$-a+2b = 1$

これらの式を解く。

$a+b = 5$ より、$a = 5-b$。

これを $-a+2b = 1$ に代入すると、$-(5-b)+2b = 1$ となり、$−5 + b + 2b = 1$。

$3b = 6$ より、$b=2$。

$a+b = 5$ に $b=2$ を代入すると、$a+2=5$ より、$a=3$。

したがって、$a=3$, $b=2$。

3. 最終的な答え

$a=3$, $b=2$