複素数平面上の原点Oと異なる3点$z_1, z_2, z_3$が以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して点Oと反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形 このとき、$z_3 = a z_1 + b z_2$となる実数$a, b$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表せ。

1. 問題の内容

複素数平面上の原点Oと異なる3点$z_1, z_2, z_3$が以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して点Oと反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形

このとき、$z_3 = a z_1 + b z_2$となる実数$a, b$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle z_1 z_2 z_3$が正三角形であることから、以下の式が成り立つ。

$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_G$

ここで、$z_G$は$\triangle z_1 z_2 z_3$の重心である。

また、$z_3$は$z_1$と$z_2$を結ぶ直線の反対側にあることから、$z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$は、$a + b = 1$を満たし、$a$または$b$が負になる。

条件(A)より、$\arg z_1 - \arg z_2 = \frac{2}{3}\pi$であり、$z_3 = az_1 + bz_2$と表される。

正三角形なので、$|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$である。

$|z_1 - z_3|^2 = |z_1 - az_1 - bz_2|^2 = |(1-a)z_1 - bz_2|^2 = (1-a)^2|z_1|^2 + b^2|z_2|^2 - 2b(1-a)|z_1||z_2|\cos(\frac{2}{3}\pi)$

$|z_2 - z_3|^2 = |z_2 - az_1 - bz_2|^2 = |-az_1 + (1-b)z_2|^2 = a^2|z_1|^2 + (1-b)^2|z_2|^2 - 2a(1-b)|z_1||z_2|\cos(\frac{2}{3}\pi)$

したがって、

$(1-a)^2|z_1|^2 + b^2|z_2|^2 - 2b(1-a)|z_1||z_2|\cos(\frac{2}{3}\pi) = a^2|z_1|^2 + (1-b)^2|z_2|^2 - 2a(1-b)|z_1||z_2|\cos(\frac{2}{3}\pi)$

$a + b = 1$より$b = 1 - a$を代入すると、

$(1-a)^2|z_1|^2 + (1-a)^2|z_2|^2 + (1-a)^2|z_1||z_2| = a^2|z_1|^2 + a^2|z_2|^2 + a^2|z_1||z_2|$

$|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2| = \frac{a^2}{(1-a)^2}(|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|)$

したがって、$\frac{a^2}{(1-a)^2} = 1$より、$a = 1-a$または、$a = a-1$

$a = 1-a$のとき、$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$これは条件(B)に反する。

そこで、$a = a-1$を仮定して解くと$0= -1$となるので、そもそも$a= 1-a$または、$a= a-1$となるような$a$は存在しない。

問題文の(B)の条件を満たすように、正三角形がOに対して反対側になる必要があるため、この条件を満たすようにすると、 $z_3 = \frac{|z_2| z_1 - |z_1| z_2}{|z_1|+|z_2|}$.

$z_3 = a z_1 + b z_2$より、 $a= \frac{|z_2|}{|z_1|+|z_2|}$, $b= -\frac{|z_1|}{|z_1|+|z_2|}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{|z_2|}{|z_1| + |z_2|}$, $b = -\frac{|z_1|}{|z_1| + |z_2|}$