線形写像 $T_A$ がベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、ベクトル $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ に写すとする。このとき、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を求め、条件を満たす行列Aの例を一つ求める。

1. 問題の内容

線形写像 $T_A$ がベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、ベクトル $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ に写すとする。このとき、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を求め、条件を満たす行列Aの例を一つ求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を満たす $c_1$ と $c_2$ を求める。

連立方程式は以下のようになる。

$c_1 - c_2 = 0$

$-2c_1 + 3c_2 = -2$

$c_1 - c_2 = 0$

最初の式と3番目の式から、$c_1 = c_2$ がわかる。

これを2番目の式に代入すると、 $-2c_1 + 3c_1 = -2$ となり、$c_1 = -2$。

したがって、$c_2 = -2$。

よって、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 線形性より、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像は、

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 T_A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} -2 T_A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(3) $A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ and $A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ を満たす行列Aを求める。

3x3の行列Aを $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ とすると、上記2つの式から6つの線形方程式が得られる。

$a - 2b + c = -2$

$d - 2e + f = 3$

$g - 2h + i = 1$

$-a + 3b - c = 3$

$-d + 3e - f = -4$

$-g + 3h - i = -4$

これらの式を解く。最初と4番目の式を足すと $b = 1$.

2番目の式と5番目の式を足すと $e = -1$.

3番目の式と6番目の式を足すと $h = -3$.

$b, e, h$ の値を代入して、残りの変数を決定する。

$a + c = 0$

$d + f = 1$

$g + i = -5$

ここでは、簡単な解を見つけるため、$a=0, c=0, d=1, f=0, g=-5, i=0$ と仮定できる。

したがって、$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -5 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

他の行列も可能。

3. 最終的な答え

(1) $[-2, -2]$

(2) $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -5 & -3 & 0 \end{pmatrix}$