与えられた式 $|x+1| - |x| + |x-1|$ の絶対値記号を外す。

1. 問題の内容

与えられた式 $|x+1| - |x| + |x-1|$ の絶対値記号を外す。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すためには、$x$ の値の範囲によって場合分けをする必要があります。それぞれの絶対値の中身が正になるか負になるかで場合分けを行います。

* $x+1$ が正となるのは $x \ge -1$ のとき、負となるのは $x < -1$ のとき。

* $x$ が正となるのは $x \ge 0$ のとき、負となるのは $x < 0$ のとき。

* $x-1$ が正となるのは $x \ge 1$ のとき、負となるのは $x < 1$ のとき。

これらの条件を考慮すると、$x$ の範囲は次の3つの場合に分けられます。

(1) $x < -1$ のとき

$|x+1| = -(x+1)$, $|x| = -x$, $|x-1| = -(x-1)$ なので、

\begin{align*}

|x+1| - |x| + |x-1| &= -(x+1) - (-x) + -(x-1) \\

&= -x - 1 + x - x + 1 \\

&= -x

\end{align*}

(2) $-1 \le x < 0$ のとき

$|x+1| = x+1$, $|x| = -x$, $|x-1| = -(x-1)$ なので、

\begin{align*}

|x+1| - |x| + |x-1| &= (x+1) - (-x) + -(x-1) \\

&= x + 1 + x - x + 1 \\

&= x + 2

\end{align*}

(3) $0 \le x < 1$ のとき

$|x+1| = x+1$, $|x| = x$, $|x-1| = -(x-1)$ なので、

\begin{align*}

|x+1| - |x| + |x-1| &= (x+1) - x + -(x-1) \\

&= x + 1 - x - x + 1 \\

&= -x + 2

\end{align*}

(4) $x \ge 1$ のとき

$|x+1| = x+1$, $|x| = x$, $|x-1| = x-1$ なので、

\begin{align*}

|x+1| - |x| + |x-1| &= (x+1) - x + (x-1) \\

&= x + 1 - x + x - 1 \\

&= x

\end{align*}

3. 最終的な答え

\begin{cases}

-x & (x < -1) \\

x+2 & (-1 \le x < 0) \\

-x+2 & (0 \le x < 1) \\

x & (x \ge 1)

\end{cases}