関数 $f(x) = 3x + 2$ と $g(x) = ax + b$ が与えられています。 合成関数に関して $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ という条件と、$f(3) = g(1)$ という条件が与えられたとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x + 2$ と $g(x) = ax + b$ が与えられています。

合成関数に関して $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ という条件と、$f(3) = g(1)$ という条件が与えられたとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f \circ g$ と $g \circ f$ を計算します。

$f(g(x)) = f(ax + b) = 3(ax + b) + 2 = 3ax + 3b + 2$

$g(f(x)) = g(3x + 2) = a(3x + 2) + b = 3ax + 2a + b$

$f \circ g = g \circ f$ より、$3ax + 3b + 2 = 3ax + 2a + b$ がすべての $x$ について成り立つので、

$3b + 2 = 2a + b$

$2b + 2 = 2a$

$a = b + 1$ ...(1)

次に、$f(3)$ と $g(1)$ を計算します。

$f(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11$

$g(1) = a(1) + b = a + b$

$f(3) = g(1)$ より、$11 = a + b$ ...(2)

(1)式を(2)式に代入すると、

$11 = (b + 1) + b$

$11 = 2b + 1$

$2b = 10$

$b = 5$

$b = 5$ を(1)式に代入すると、

$a = 5 + 1 = 6$

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = 5$