3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$ を因数分解して解を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$ を因数分解して解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、方程式の解の候補を見つけます。定数項が8なので、$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$などが候補となります。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$

したがって、$x=1$ は解の一つです。よって、$x-1$ は因数となります。

次に、与えられた3次式を$x-1$で割ります。

\[

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -2x & -8 \\

\cline{2-5}

x-1 & x^3 & -3x^2 & -6x & +8 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -2x^2 & -6x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -2x^2 & +2x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -8x & +8 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -8x & +8 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

\]

したがって、$x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = (x-1)(x^2 - 2x - 8)$となります。

次に、2次式 $x^2 - 2x - 8$ を因数分解します。

$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$

よって、$x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = (x-1)(x-4)(x+2)$

したがって、$(x-1)(x-4)(x+2) = 0$ の解は $x=1, 4, -2$です。

3. 最終的な答え

$x = 1, 4, -2$