1次関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f^{-1}(2) = 1$ かつ $f^{-1}(4) = 5$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1次関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f^{-1}(2) = 1$ かつ $f^{-1}(4) = 5$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f^{-1}(2) = 1$ より $f(1) = 2$ が成り立ちます。

同様に、$f^{-1}(4) = 5$ より $f(5) = 4$ が成り立ちます。

$f(x)$ は1次関数なので、$f(x) = ax + b$ とおくことができます。

$f(1) = 2$ を代入すると、

$a(1) + b = 2$

$a + b = 2$ となります。

同様に、$f(5) = 4$ を代入すると、

$a(5) + b = 4$

$5a + b = 4$ となります。

2つの式から $a$ と $b$ を求めます。

$5a + b = 4$ から $a + b = 2$ を引くと、

$4a = 2$

$a = \frac{1}{2}$ となります。

$a + b = 2$ に $a = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\frac{1}{2} + b = 2$

$b = 2 - \frac{1}{2}$

$b = \frac{3}{2}$ となります。

したがって、$f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$