2つの関数 $f(x) = x + 2$ と $g(x) = ax^2 + bx + 1$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x) = 2x^2 + 8x + 9$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = x + 2$ と $g(x) = ax^2 + bx + 1$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x) = 2x^2 + 8x + 9$ が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$g(f(x))$ を計算します。$f(x) = x + 2$ なので、$g(x)$ の $x$ を $x + 2$ に置き換えます。

$g(f(x)) = g(x+2) = a(x+2)^2 + b(x+2) + 1$

次に、$(x+2)^2$ を展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

これを用いて、$g(f(x))$ を展開します。

$g(f(x)) = a(x^2 + 4x + 4) + b(x+2) + 1$

$g(f(x)) = ax^2 + 4ax + 4a + bx + 2b + 1$

$g(f(x)) = ax^2 + (4a + b)x + (4a + 2b + 1)$

問題文より、$g(f(x)) = 2x^2 + 8x + 9$ なので、係数を比較します。

$ax^2 + (4a + b)x + (4a + 2b + 1) = 2x^2 + 8x + 9$

係数を比較すると、次の3つの式が得られます。

$a = 2$

$4a + b = 8$

$4a + 2b + 1 = 9$

$a = 2$ を $4a + b = 8$ に代入します。

$4(2) + b = 8$

$8 + b = 8$

$b = 0$

次に、$a = 2$ と $b = 0$ を $4a + 2b + 1 = 9$ に代入して確認します。

$4(2) + 2(0) + 1 = 8 + 0 + 1 = 9$

よって、条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 0$