与えられた数式の計算を行う問題です。数式は $\frac{y}{x^2-xy} + \frac{x}{y^2-xy}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の計算を行う問題です。数式は

$\frac{y}{x^2-xy} + \frac{x}{y^2-xy}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - xy = x(x-y)$

$y^2 - xy = y(y-x)$

したがって、与えられた式は

$\frac{y}{x(x-y)} + \frac{x}{y(y-x)}$

となります。

ここで、2番目の分数の分母の符号を反転させると、

$\frac{y}{x(x-y)} - \frac{x}{y(x-y)}$

となります。

次に、通分するために、各分数の分子と分母に適切な係数を掛けます。通分した分母は $xy(x-y)$ です。

$\frac{y}{x(x-y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x}{y(x-y)} \cdot \frac{x}{x}$

$= \frac{y^2}{xy(x-y)} - \frac{x^2}{xy(x-y)}$

これらをまとめると、

$\frac{y^2 - x^2}{xy(x-y)}$

となります。

分子を因数分解します。

$y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$

したがって、

$\frac{(y-x)(y+x)}{xy(x-y)}$

ここで、$(y-x) = -(x-y)$ であることに注意すると、

$\frac{-(x-y)(x+y)}{xy(x-y)}$

となります。

$(x-y)$ で約分すると、

$\frac{-(x+y)}{xy}$

したがって、

$-\frac{x+y}{xy}$

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{x+y}{xy}$

または

$-\frac{x}{xy} - \frac{y}{xy} = -\frac{1}{y} - \frac{1}{x}$

と表現することもできます。