等比数列 $\{a_n\}$ について、$a_2 + a_3 = 6$ および $a_4 + a_5 = 54$ が成り立つとき、数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ について、$a_2 + a_3 = 6$ および $a_4 + a_5 = 54$ が成り立つとき、数列 $\{a_n\}$ の初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、一般項は $a_n = ar^{n-1}$ と表される。

与えられた条件から、

$a_2 + a_3 = ar + ar^2 = 6$

$a_4 + a_5 = ar^3 + ar^4 = 54$

これらの式を変形すると、

$ar(1 + r) = 6$ (1)

$ar^3(1 + r) = 54$ (2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{ar^3(1+r)}{ar(1+r)} = \frac{54}{6}$

$r^2 = 9$

したがって、$r = \pm 3$

(i) $r = 3$ のとき、(1)式に代入すると

$a(3)(1+3) = 6$

$12a = 6$

$a = \frac{1}{2}$

(ii) $r = -3$ のとき、(1)式に代入すると

$a(-3)(1+(-3)) = 6$

$a(-3)(-2) = 6$

$6a = 6$

$a = 1$

3. 最終的な答え

(i) 初項 $a = \frac{1}{2}$、公比 $r = 3$

(ii) 初項 $a = 1$、公比 $r = -3$