$(2x-5y)^5$ の展開式における $x^3y^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x-5y)^5$ の展開式における $x^3y^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式における一般項は $_nC_k a^{n-k} b^k$ で表されます。

今回の問題では $a = 2x$, $b = -5y$, $n = 5$ です。

$x^3y^2$ の項を求めるので、$x$ の指数が 3, $y$ の指数が 2 になるように $k$ を決定します。

$x$ の指数は $n-k$ であり、$y$ の指数は $k$ なので、$n-k = 3$ かつ $k=2$ となります。$n=5$ なので、$5-k = 3$ となり、$k=2$ は条件を満たします。

したがって、$x^3y^2$ の項は

$_5C_2 (2x)^3 (-5y)^2$

と表されます。

係数を計算すると、

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(2x)^3 = 8x^3$

$(-5y)^2 = 25y^2$

よって、$x^3y^2$ の項は

$10 \times 8x^3 \times 25y^2 = 10 \times 8 \times 25 x^3 y^2 = 2000 x^3 y^2$

したがって、$x^3y^2$ の項の係数は 2000 です。

3. 最終的な答え

2000