与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列$A$の行列式$\det(A)$を計算します。

$\det(A) = 1(5\cdot2 - 1\cdot1) - 3(2\cdot2 - 1\cdot(-1)) + (-1)(2\cdot1 - 5\cdot(-1))$

$\det(A) = 1(10 - 1) - 3(4 + 1) - 1(2 + 5)$

$\det(A) = 9 - 15 - 7 = -13$

次に、行列$A$の余因子行列$C$を計算します。

$C_{11} = (5\cdot2 - 1\cdot1) = 9$

$C_{12} = -(2\cdot2 - 1\cdot(-1)) = -5$

$C_{13} = (2\cdot1 - 5\cdot(-1)) = 7$

$C_{21} = -(3\cdot2 - (-1)\cdot1) = -7$

$C_{22} = (1\cdot2 - (-1)\cdot(-1)) = 1$

$C_{23} = -(1\cdot1 - 3\cdot(-1)) = -4$

$C_{31} = (3\cdot1 - (-1)\cdot5) = 8$

$C_{32} = -(1\cdot1 - (-1)\cdot2) = -3$

$C_{33} = (1\cdot5 - 3\cdot2) = -1$

したがって、余因子行列は次のようになります。

$C = \begin{pmatrix} 9 & -5 & 7 \\ -7 & 1 & -4 \\ 8 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

次に、$C$の転置行列である$C^T$を計算します。これは$A$の随伴行列とも呼ばれます。

$C^T = \begin{pmatrix} 9 & -7 & 8 \\ -5 & 1 & -3 \\ 7 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

最後に、逆行列$A^{-1}$を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-13} \begin{pmatrix} 9 & -7 & 8 \\ -5 & 1 & -3 \\ 7 & -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9/13 & 7/13 & -8/13 \\ 5/13 & -1/13 & 3/13 \\ -7/13 & 4/13 & 1/13 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -9/13 & 7/13 & -8/13 \\ 5/13 & -1/13 & 3/13 \\ -7/13 & 4/13 & 1/13 \end{pmatrix}$