与えられた5つの命題について、前文が後文であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいはどれでもないかを答える問題です。選択肢は以下の通りです。 * 0: 必要十分条件である * 1: 必要条件であるが十分条件ではない * 2: 十分条件であるが必要条件ではない * 3: 必要条件でも十分条件でもない (1) $a \geq 4$ かつ $b \geq 4$ であることは、$a+b \geq 8$ かつ $ab \geq 16$ であるための？ (2) $\triangle ABC$ において、$\cos A < 0$ であることは、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であるための？ (3) $x^2 - 2x - 8 < 0$ であることは、$|x-1| < 3$ であるための？ (4) $p+q$, $pq$ がともに無理数であることは、$p$, $q$ がともに無理数であるための？ (5) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が異なる2つの実数解をもつことは、$b < 0$ となるための？

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた5つの命題について、前文が後文であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいはどれでもないかを答える問題です。選択肢は以下の通りです。

* 0: 必要十分条件である

* 1: 必要条件であるが十分条件ではない

* 2: 十分条件であるが必要条件ではない

* 3: 必要条件でも十分条件でもない

(1) $a \geq 4$ かつ $b \geq 4$ であることは、$a+b \geq 8$ かつ $ab \geq 16$ であるための？

(2) $\triangle ABC$ において、$\cos A < 0$ であることは、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であるための？

(3) $x^2 - 2x - 8 < 0$ であることは、$|x-1| < 3$ であるための？

(4) $p+q$, $pq$ がともに無理数であることは、$p$, $q$ がともに無理数であるための？

(5) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が異なる2つの実数解をもつことは、$b < 0$ となるための？

2. 解き方の手順

(1) $a \geq 4$ かつ $b \geq 4 \Rightarrow a+b \geq 8$ かつ $ab \geq 16$ が成り立つかを確認します。

$a+b \geq 4+4=8$, $ab \geq 4 \times 4 = 16$ となるので、この命題は真です。

$a+b \geq 8$ かつ $ab \geq 16 \Rightarrow a \geq 4$ かつ $b \geq 4$ が成り立つかを確認します。

$a+b=8$, $ab=16$の時、$a=4$, $b=4$となります。

しかし、$a+b=9$, $ab=16$の時、$a=\frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$となり、$a \geq 4$, $b \geq 4$とは限りません。

したがって、必要条件であるが十分条件ではありません。

(2) $\cos A < 0 \Leftrightarrow A$ が鈍角。よって、$\triangle ABC$ において $\cos A < 0$ であることは、$\triangle ABC$ が鈍角三角形であるための必要十分条件です。

(3) $x^2 - 2x - 8 < 0$ を解くと、$(x-4)(x+2) < 0$ より $-2 < x < 4$。

$|x-1| < 3$ を解くと、 $-3 < x-1 < 3$ より $-2 < x < 4$。

よって、必要十分条件です。

(4) $p+q$ と $pq$ がともに無理数であることは、$p$ と $q$ がともに無理数であるための十分条件ではありません。例えば、$p = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$ のとき、$p+q = 0$ は有理数、$pq = -2$ は有理数ですが、$p, q$ は無理数です。よって、十分条件ではありません。

$p+q$ と $pq$ がともに無理数であることは、$p$ と $q$ がともに無理数であるための必要条件でもありません。$p = \sqrt{2}$, $q = 1$とすると、$p+q=\sqrt{2}+1$, $pq=\sqrt{2}$となり、$p+q$と$pq$はともに無理数ですが、$q=1$は無理数ではありません。よって必要条件でもありません。

したがって、必要条件でも十分条件でもありません。

(5) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が異なる2つの実数解をもつ $\Leftrightarrow$ 判別式 $D = a^2 - 4b > 0$。

$b < 0 \Rightarrow -4b > 0$ より $a^2 - 4b > 0$ となるので、$b < 0$ は異なる2つの実数解をもつための十分条件です。

しかし、$a^2 - 4b > 0$ であっても $b \geq 0$ の場合もあるので、$b < 0$ は異なる2つの実数解をもつための必要条件ではありません。

したがって、十分条件であるが必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 0

ウ: 0

エ: 3

オ: 2