3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1 - 2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値を求め、また、他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1 - 2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値を求め、また、他の解を求める。

2. 解き方の手順

係数が実数である3次方程式が $1 - 2i$ を解に持つとき、共役複素数である $1 + 2i$ も解に持つ。

3次方程式の解を $\alpha, 1 - 2i, 1 + 2i$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + (1 - 2i) + (1 + 2i) = 0$

$\alpha(1 - 2i) + \alpha(1 + 2i) + (1 - 2i)(1 + 2i) = a$

$\alpha(1 - 2i)(1 + 2i) = -b$

まず、$\alpha$ を求める。

$\alpha + (1 - 2i) + (1 + 2i) = \alpha + 2 = 0$

$\alpha = -2$

次に、$a$ を求める。

$a = \alpha(1 - 2i) + \alpha(1 + 2i) + (1 - 2i)(1 + 2i)$

$a = -2(1 - 2i) - 2(1 + 2i) + (1 + 4)$

$a = -2 + 4i - 2 - 4i + 5$

$a = 1$

最後に、$b$ を求める。

$-b = \alpha(1 - 2i)(1 + 2i)$

$-b = -2(1 + 4)$

$-b = -2(5)$

$-b = -10$

$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = 10$

他の解：$1 + 2i, -2$