円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式 $y = x + m$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ に代入する。

すると、$x^2 + (x + m)^2 = 1$ となる。

これを展開して整理すると、$x^2 + x^2 + 2mx + m^2 = 1$ となり、$2x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$ という $x$ に関する2次方程式が得られる。

円と直線が共有点を持つためには、この2次方程式が実数解を持つ必要がある。

つまり、判別式 $D$ が $D \ge 0$ を満たさなければならない。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で求められるので、$2x^2 + 2mx + m^2 - 1 = 0$ の判別式は、$D = (2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 1) = 4m^2 - 8(m^2 - 1) = 4m^2 - 8m^2 + 8 = -4m^2 + 8$ となる。

$D \ge 0$ より、$-4m^2 + 8 \ge 0$。

これを解くと、$4m^2 \le 8$ より、$m^2 \le 2$。

したがって、$-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}$