二項定理を用いて、$(x+3)^4$ を展開し、$x^4 + \text{アイ}x^3 + \text{ウエ}x^2 + \text{オカキ}x + \text{クケ}$ の形式で表す問題です。各空欄「アイ」、「ウエ」、「オカキ」、「クケ」に入る数字を求める必要があります。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$(x+3)^4$ を展開し、$x^4 + \text{アイ}x^3 + \text{ウエ}x^2 + \text{オカキ}x + \text{クケ}$ の形式で表す問題です。各空欄「アイ」、「ウエ」、「オカキ」、「クケ」に入る数字を求める必要があります。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(x+3)^4$ の展開は以下のようになります。

$(x+3)^4 = \binom{4}{0}x^4 3^0 + \binom{4}{1}x^3 3^1 + \binom{4}{2}x^2 3^2 + \binom{4}{3}x^1 3^3 + \binom{4}{4}x^0 3^4$

ここで、二項係数は $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

各項を計算します。

$\binom{4}{0} = 1$, $\binom{4}{1} = 4$, $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$, $\binom{4}{3} = 4$, $\binom{4}{4} = 1$

したがって、

$(x+3)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot 3 + 6 \cdot x^2 \cdot 9 + 4 \cdot x \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81$

$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$

したがって、空欄に入る数字は以下のようになります。

* アイ = 12

* ウエ = 54

* オカキ = 108

* クケ = 81

3. 最終的な答え

* アイ = 12

* ウエ = 54

* オカキ = 108

* クケ = 81