問題は、式 $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$ を、次の2つの方法で因数分解することです。 (1) $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 = (x^3 - 27y^3) - 9xy(x-3y)$ と変形し、$x^3 - 27y^3$ に因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用する方法。 (2) 公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用する方法。

1. 問題の内容

問題は、式 $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$ を、次の2つの方法で因数分解することです。

(1) $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 = (x^3 - 27y^3) - 9xy(x-3y)$ と変形し、$x^3 - 27y^3$ に因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用する方法。

(2) 公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用する方法。

2. 解き方の手順

(1) の方法：

まず、$x^3 - 27y^3$ を因数分解します。

$27y^3 = (3y)^3$ なので、$a = x$, $b = 3y$ として、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ に代入します。

$x^3 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)$

したがって、

$x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) - 9xy(x - 3y)$

共通因数 $(x - 3y)$ でくくります。

$= (x - 3y)[(x^2 + 3xy + 9y^2) - 9xy]$

$= (x - 3y)(x^2 - 6xy + 9y^2)$

$(x^2 - 6xy + 9y^2)$ は $(x - 3y)^2$ なので、

$= (x - 3y)(x - 3y)^2$

$= (x - 3y)^3$

(2) の方法：

公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を利用します。

$x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$ を $(a-b)^3$ の形に当てはめます。

$a^3 = x^3$ より、$a = x$

$-27y^3 = (-3y)^3$ より、$b = 3y$ と考えると、

$(x - 3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3$

$= x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

したがって、$x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3 = (x - 3y)^3$

3. 最終的な答え

$(x - 3y)^3$