$x+y=2$、 $xy=-1$のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2+y^2$ (2) $x^3+y^3$ (3) $x^4+y^4$ (4) $x^5+y^5$

1. 問題の内容

$x+y=2$、 $xy=-1$のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2+y^2$

(2) $x^3+y^3$

(3) $x^4+y^4$

(4) $x^5+y^5$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+y^2$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y=2$、 $xy=-1$を代入して、

$x^2+y^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4+2=6$

(2) $x^3+y^3$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

$x+y=2$、$xy=-1$、$x^2+y^2 = 6$を代入して、

$x^3+y^3 = (2)(6-(-1)) = 2(7)=14$

(3) $x^4+y^4$

$(x^2+y^2)^2 = x^4+2x^2y^2+y^4$より、

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2$

$x^2+y^2 = 6$、$xy=-1$を代入して、

$x^4+y^4 = (6)^2 - 2(-1)^2 = 36 - 2 = 34$

(4) $x^5+y^5$

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^3 - x^3y^2 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y)$

$x^2+y^2=6$、$x^3+y^3=14$、$xy=-1$、$x+y=2$を代入して、

$x^5+y^5 = (6)(14) - (-1)^2(2) = 84-2=82$

3. 最終的な答え

(1) $x^2+y^2 = 6$

(2) $x^3+y^3 = 14$

(3) $x^4+y^4 = 34$

(4) $x^5+y^5 = 82$