与えられた多項式 $x^6 + 9x^3 + 8$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^6 + 9x^3 + 8$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = X$ とおきます。すると、与式は

$X^2 + 9X + 8$

となります。

これは、$X$ についての2次式なので、因数分解できます。

$X^2 + 9X + 8 = (X+1)(X+8)$

ここで、$X$ を $x^3$ に戻すと、

$(x^3 + 1)(x^3 + 8)$

となります。

$x^3 + 1$ と $x^3 + 8$ は、それぞれ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を使って因数分解できます。

$x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

したがって、

$(x^3 + 1)(x^3 + 8) = (x+1)(x^2 - x + 1)(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+1)(x+2)(x^2 - x + 1)(x^2 - 2x + 4)$