与えられた方程式 $0 = -100 + \frac{80}{1+r} + \frac{50}{(1+r)^2} + \frac{40}{(1+r)^3}$ を満たす $r$ の値を求める問題です。これは、投資の内部収益率（IRR）を計算する問題として解釈できます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $0 = -100 + \frac{80}{1+r} + \frac{50}{(1+r)^2} + \frac{40}{(1+r)^3}$ を満たす $r$ の値を求める問題です。これは、投資の内部収益率（IRR）を計算する問題として解釈できます。

2. 解き方の手順

この方程式は3次方程式であるため、解析的に解くのは難しいです。数値解法を用いて近似解を求める必要があります。

まず、$x = \frac{1}{1+r}$ と置換すると、方程式は次のようになります。

$0 = -100 + 80x + 50x^2 + 40x^3$

もしくは、

$40x^3 + 50x^2 + 80x - 100 = 0$

$4x^3 + 5x^2 + 8x - 10 = 0$

この3次方程式の解を数値計算によって求めます。例えば、ニュートン法などの反復解法を利用します。近似解は、約$x \approx 0.8048$となります。

次に、$r$ を求めるために、$x = \frac{1}{1+r}$ を $r$ について解きます。

$r = \frac{1}{x} - 1$

3. 最終的な答え

$x \approx 0.8048$ を代入すると、

$r \approx \frac{1}{0.8048} - 1 \approx 1.2425 - 1 \approx 0.2425$

したがって、$r \approx 0.2425$ または $r \approx 24.25\%$ となります。

最終的な答え：r ≈ 0.2425