$x+y+z = -1$ かつ $xy+yz+zx+xyz=0$ のとき、$x, y, z$ のうち少なくとも一つは $-1$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$x+y+z = -1$ かつ $xy+yz+zx+xyz=0$ のとき、$x, y, z$ のうち少なくとも一つは $-1$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$x, y, z$ を解とする3次方程式を考える。解と係数の関係より、

$$(t-x)(t-y)(t-z) = t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$$

問題文より、$x+y+z = -1$ であるから、

$$t^3 + t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$$

また、$xy+yz+zx+xyz = 0$ より、 $xy+yz+zx = -xyz$ であるから、

$$t^3 + t^2 - (xyz)t - xyz = 0$$

この式を整理すると

$$t^3 + t^2 - xyz(t+1) = 0$$

$$t^2(t+1) - xyz(t+1) = 0$$

$$(t^2 - xyz)(t+1) = 0$$

$$(t+1)(t^2-xyz)=0$$

したがって、$t=-1$ がこの方程式の解の一つである。

つまり、$x, y, z$ のうち少なくとも一つは $-1$ である。

3. 最終的な答え

$x, y, z$ のうち少なくとも一つは $-1$ である。