一辺の長さが2の正六角形ABCDEFについて、以下のベクトルの内積をそれぞれ求めます。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$ (2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}$ (3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{FB}$ (4) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EF}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFについて、以下のベクトルの内積をそれぞれ求めます。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{FB}$

(4) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EF}$

2. 解き方の手順

正六角形の性質を利用して、ベクトルの大きさやなす角を求め、内積の公式 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$ を利用して計算します。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF}$

$|\overrightarrow{AB}| = 2$, $|\overrightarrow{AF}| = 2$, $\angle BAF = 120^\circ$なので、

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{120^\circ} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}$

$|\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{AE}| = 2\sqrt{3}$, $\angle CAE = 60^\circ$なので、

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE} = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{60^\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{FB}$

$|\overrightarrow{BC}| = 2$, $|\overrightarrow{FB}| = 2\sqrt{3}$, $\angle CBF = 90^\circ$なので、

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{FB} = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos{90^\circ} = 4\sqrt{3} \cdot 0 = 0$

(4) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EF}$

$|\overrightarrow{AD}| = 4$, $|\overrightarrow{EF}| = 2$, $\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{EF}$のなす角は$180^\circ$なので、

$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EF} = 4 \cdot 2 \cdot \cos{180^\circ} = 8 \cdot (-1) = -8$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = -2$

(2) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE} = 6$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{FB} = 0$

(4) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EF} = -8$