ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、以下の2つの場合について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。 (1) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = \frac{\pi}{4}$ (2) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\theta = \frac{5}{6}\pi$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、以下の2つの場合について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めます。

(1) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = \frac{\pi}{4}$

(2) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\theta = \frac{5}{6}\pi$

2. 解き方の手順

内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ を用いて計算します。

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ に $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = \frac{\pi}{4}$ を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ に $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\theta = \frac{5}{6}\pi$ を代入すると、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos \frac{5}{6}\pi = 10 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -5\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2}$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5\sqrt{3}$