2つの直線 $y = -x + 6$ と $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -x + 6$ と $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1$ と $m_2$ とします。

$m_1 = -1$

$m_2 = 2 + \sqrt{3}$

2つの直線のなす角 $\theta$ は、次の公式で求められます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

この公式に $m_1$ と $m_2$ の値を代入します。

$\tan \theta = \left| \frac{(2 + \sqrt{3}) - (-1)}{1 + (-1)(2 + \sqrt{3})} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-(1 + \sqrt{3})} \right|$

$\tan \theta = \left| - \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right|$

$\tan \theta = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

$\tan \theta = \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}$

$\tan \theta = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{1 - 3}$

$\tan \theta = \frac{-2\sqrt{3}}{-2}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$