四角形ABCDは円に内接し、AB=4, BC=2, DA=DCである。対角線ACとBDの交点をE、線分ADを2:3に内分する点をF、直線FEと直線DCの交点をGとする。 (1) $\angle ABC$の大きさが変化するとき、$\angle DAC$と大きさが等しい角の個数を求める。 (2) $\frac{EC}{AE}$と$\frac{GC}{DG}$を求める。 (3) 直線ABが点Gを通る場合、BGとDCを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDは円に内接し、AB=4, BC=2, DA=DCである。対角線ACとBDの交点をE、線分ADを2:3に内分する点をF、直線FEと直線DCの交点をGとする。

(1) $\angle ABC$の大きさが変化するとき、$\angle DAC$と大きさが等しい角の個数を求める。

(2) $\frac{EC}{AE}$と$\frac{GC}{DG}$を求める。

(3) 直線ABが点Gを通る場合、BGとDCを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle DAC$と等しい角を探す。

・$\angle DAC = \angle DBC$ （円周角の定理）

・$\angle DAC = \angle BAC$ （同じ角）

よって、$\angle DAC$と大きさが等しい角は$\angle DBC$のみである。

したがって、答えは1個。

(2)

(1)より、$AD:DF:FA = 5:2:3$。

$\triangle AFD \sim \triangle CEB$より、

$\frac{EC}{AE}$を求める。

$\triangle AFE$と直線DCについて、メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DF}\cdot \frac{FG}{GE}\cdot \frac{EC}{CA}=1$

$\frac{5}{2} \cdot \frac{FG}{GE} \cdot \frac{EC}{AE + EC} = 1$

$\triangle BCG \sim \triangle FDG$より

$\frac{GC}{DG} = \frac{BC}{DF} = \frac{2}{2} = 1$

よって$GC=DG$

ここで、$\triangle ACD$と直線FEについて、メネラウスの定理より、

$\frac{AF}{FD} \cdot \frac{DG}{GC} \cdot \frac{CE}{EA}=1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{DG}{DG} \cdot \frac{CE}{EA}=1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{CE}{EA}=1$

$\frac{CE}{EA} = \frac{2}{3}$

(3)

直線ABが点Gを通る場合、

$\triangle DAG \sim \triangle CBG$

$\frac{AG}{CG} = \frac{DG}{BG} = \frac{AD}{BC}$

$AD = DC$であるから、$\triangle ADC$は二等辺三角形。

$AD = x$とおくと、$DC = x$。

$\frac{AG}{CG} = \frac{DG}{BG} = \frac{x}{2}$

$\frac{GC}{DG} = 1$より、$GC = DG$。

方べきの定理より、$GA \cdot GB = GC \cdot GD$

$GA \cdot GB = GC^2$

$(4+BG) \cdot BG = GC^2$

$\frac{AG}{CG} = \frac{AD}{BC} = \frac{x}{2}$より、

$AG = \frac{x}{2}CG = \frac{x}{2}DG$

$AG:DG = \frac{x}{2} : 1 = x:2$

$\triangle ADG$について、

$AG \cdot BG = CG \cdot DG$

$(4+BG)BG = DG^2$

$BG = \frac{8}{3}$

$\frac{DG}{BG} = \frac{AD}{BC} = \frac{x}{2}$より、

$\frac{DG}{8/3} = \frac{x}{2}$

$DG = \frac{4}{3}x$

$AG:DG = x:2$より

$AG = \frac{x}{2}CG$

$AG = \frac{x}{2}DG$

$\frac{x}{2}DG = \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{3} x = \frac{2x^2}{3}$

$GA \cdot GB = GC \cdot GD$より

$(4+BG)BG = DG^2$

$(4+8/3)(8/3) = DG^2$

$(20/3)(8/3) = DG^2$

$DG^2 = 160/9$

$DG = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

$\frac{x}{2} = \frac{4\sqrt{10}/3}{8/3} = \frac{4\sqrt{10}}{8} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$x = \sqrt{10}$

したがって、$DC = \sqrt{10}$。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{EC}{AE} = \frac{2}{3}$, $\frac{GC}{DG} = 1$

(3) $BG = \frac{8}{3}$, $DC = \sqrt{10}$