xy平面において、連立不等式 $x-2y+2 \ge 0$, $2x+y+4 \ge 0$, $3x-y-9 \le 0$ の表す領域をDとする。 (1) 領域Dは3点A, B, Cを頂点とする三角形の内部である。 (2) 不等式 $(x-p)^2 + (y-q)^2 \le r^2$ ($r > 0$) の表す領域をEとする。領域Dに属する点がすべて領域Eに含まれるとき、$r$の最小値を求める。そのときの$p, q$の値を求める。 (3) 点$(x, y)$が領域D内にあるとき、$x^2+y^2-6y = k$とおく。$k$の最大値、最小値と、そのときの$x, y$の値を求める。

1. 問題の内容

xy平面において、連立不等式 $x-2y+2 \ge 0$, $2x+y+4 \ge 0$, $3x-y-9 \le 0$ の表す領域をDとする。

(1) 領域Dは3点A, B, Cを頂点とする三角形の内部である。

(2) 不等式 $(x-p)^2 + (y-q)^2 \le r^2$ ($r > 0$) の表す領域をEとする。領域Dに属する点がすべて領域Eに含まれるとき、$r$の最小値を求める。そのときの$p, q$の値を求める。

(3) 点$(x, y)$が領域D内にあるとき、$x^2+y^2-6y = k$とおく。$k$の最大値、最小値と、そのときの$x, y$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連立不等式の表す領域Dの頂点を求める。

$x - 2y + 2 = 0$と$2x + y + 4 = 0$の交点Aを求める。

連立方程式を解くと、$x = -2$, $y = 0$。よってA(-2, 0)。

$2x + y + 4 = 0$と$3x - y - 9 = 0$の交点Bを求める。

連立方程式を解くと、$x = 1$, $y = -6$。よってB(1, -6)。

$3x - y - 9 = 0$と$x - 2y + 2 = 0$の交点Cを求める。

連立方程式を解くと、$x = 4$, $y = 3$。よってC(4, 3)。

(2) 領域Dに属する点がすべて領域Eに含まれるとき、$r$は領域Dの各頂点と円の中心$(p,q)$との距離の最大値よりも大きい必要がある。

領域Dは三角形ABCであるから、$(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$が三角形ABCの外接円となる時、$r$は最小となる。しかし、円の中心座標も指定されているため、三角形ABCの内接円を考える。つまり、三角形ABCの重心が円の中心となる。

各辺からの距離が等しいときに$r$が最小となる。

三角形ABCの重心をGとする。

Gの座標は$p = \frac{-2+1+4}{3} = 1$, $q = \frac{0-6+3}{3} = -1$。

つまり、$(p, q) = (1, -1)$。

重心Gと各頂点との距離を求める。

$GA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$

$GB = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-1 - (-6))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$

$GC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

$GA > GB=GC$より、$r$の最小値は$\sqrt{10}$ではない。

直線と点の距離の公式を用いる。

$x - 2y + 2 = 0$と点$(1, -1)$の距離は$\frac{|1 - 2(-1) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$2x + y + 4 = 0$と点$(1, -1)$の距離は$\frac{|2(1) + (-1) + 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$3x - y - 9 = 0$と点$(1, -1)$の距離は$\frac{|3(1) - (-1) - 9|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

３つの直線との距離の最大値が$\sqrt{5}$なので、$r = \sqrt{5}$

(3) $x^2+y^2-6y = k$を変形すると、

$x^2+(y-3)^2 = k+9$。これは中心(0, 3), 半径$\sqrt{k+9}$の円を表す。

$k$が最大となるとき、円と領域Dが接する場合である。

また、$k$が最小となるとき、円と領域Dが接する場合である。

3. 最終的な答え

(1) A(-2, 0), B(1, -6), C(4, 3)

(2) $r$の最小値は$\sqrt{5}$であり、$p = 1$, $q = -1$。

(3) $x^2 + (y-3)^2 = k+9$について、$k$が最大となるのは、点(4, 3)を通るときで、

$4^2 + (3-3)^2 = k+9$より、$16 = k+9$, $k = 7$。このとき$x=4$, $y=3$。

$k$が最小となるのは、点(-2, 0)を通るときで、

$(-2)^2 + (0-3)^2 = k+9$より、$4 + 9 = k+9$, $k=4$。このとき$x=-2$, $y=0$。

よって、$k$は $x=4$, $y=3$のとき最大値7をとり、$x=-2$, $y=0$のとき最小値4をとる。