$\alpha$ は第3象限の角、$\beta$ は第4象限の角である。$\sin{\alpha} = -\frac{1}{3}$、$\cos{\beta} = \frac{5}{13}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\cos{\alpha}$ (2) $\sin{\beta}$

1. 問題の内容

$\alpha$ は第3象限の角、$\beta$ は第4象限の角である。$\sin{\alpha} = -\frac{1}{3}$、$\cos{\beta} = \frac{5}{13}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\cos{\alpha}$

(2) $\sin{\beta}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\alpha}$ を求める。

$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ より、

$\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha}$

$\cos{\alpha} = \pm \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}}$

$\alpha$ は第3象限の角なので、$\cos{\alpha} < 0$ である。

したがって、$\cos{\alpha} = - \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}}$

$\sin{\alpha} = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\cos{\alpha} = - \sqrt{1 - (-\frac{1}{3})^2} = - \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = - \sqrt{\frac{8}{9}} = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\sin{\beta}$ を求める。

$\sin^2{\beta} + \cos^2{\beta} = 1$ より、

$\sin^2{\beta} = 1 - \cos^2{\beta}$

$\sin{\beta} = \pm \sqrt{1 - \cos^2{\beta}}$

$\beta$ は第4象限の角なので、$\sin{\beta} < 0$ である。

したがって、$\sin{\beta} = - \sqrt{1 - \cos^2{\beta}}$

$\cos{\beta} = \frac{5}{13}$ を代入すると、

$\sin{\beta} = - \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = - \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = - \sqrt{\frac{144}{169}} = - \frac{12}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\alpha} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $\sin{\beta} = -\frac{12}{13}$