$\alpha$ と $\beta$ はともに第2象限の角であり、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\cos \beta = -\frac{12}{13}$ であるとき、以下の値を求める。 (1) $\cos \alpha$ (2) $\sin \beta$ (3) $\sin(\alpha + \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$ と $\beta$ はともに第2象限の角であり、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$、$\cos \beta = -\frac{12}{13}$ であるとき、以下の値を求める。

(1) $\cos \alpha$

(2) $\sin \beta$

(3) $\sin(\alpha + \beta)$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha$ の求め方:

第2象限では $\cos \alpha < 0$ なので、$\cos \alpha = - \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ を用いる。

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ を代入して計算する。

$\cos \alpha = - \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = - \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = - \sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin \beta$ の求め方:

第2象限では $\sin \beta > 0$ なので、$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta}$ を用いる。

$\cos \beta = -\frac{12}{13}$ を代入して計算する。

$\sin \beta = \sqrt{1 - (-\frac{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$

(3) $\sin(\alpha + \beta)$ の求め方:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を用いる。

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \beta = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$, $\sin \beta = \frac{5}{13}$ を代入して計算する。

$\sin(\alpha + \beta) = (\frac{4}{5})(-\frac{12}{13}) + (-\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin \beta = \frac{5}{13}$

(3) $\sin(\alpha + \beta) = -\frac{63}{65}$