問題は、三角関数の加法定理を用いて、$195^\circ$ の正弦と余弦の値を求める問題です。具体的には、 (1) $\sin 195^\circ$ の値を求める。 (2) $\cos 195^\circ$ の値を求める。 ただし、$195^\circ = 135^\circ + 60^\circ$ であることを利用します。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の加法定理を用いて、$195^\circ$ の正弦と余弦の値を求める問題です。具体的には、

(1) $\sin 195^\circ$ の値を求める。

(2) $\cos 195^\circ$ の値を求める。

ただし、$195^\circ = 135^\circ + 60^\circ$ であることを利用します。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 195^\circ$ の値を求める。

加法定理より、

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

なので、

$\sin 195^\circ = \sin(135^\circ + 60^\circ) = \sin 135^\circ \cos 60^\circ + \cos 135^\circ \sin 60^\circ$

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\sin 195^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos 195^\circ$ の値を求める。

加法定理より、

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

なので、

$\cos 195^\circ = \cos(135^\circ + 60^\circ) = \cos 135^\circ \cos 60^\circ - \sin 135^\circ \sin 60^\circ$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$\cos 195^\circ = (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 195^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos 195^\circ = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$