図1において、正方形から扇形を引いた部分の面積を求める。また、図2において、「ア」の弧の長さと「イ」の弧の長さの比を最も簡単な整数比で表す。正方形の一辺の長さは10cmであり、円周率は3.14とする。

1. 問題の内容

図1において、正方形から扇形を引いた部分の面積を求める。また、図2において、「ア」の弧の長さと「イ」の弧の長さの比を最も簡単な整数比で表す。正方形の一辺の長さは10cmであり、円周率は3.14とする。

2. 解き方の手順

(1) 図1の色をつけた部分の面積を求める。

まず、正方形の面積を求める。これは$10 \times 10 = 100$ cm$^2$である。

次に、扇形の面積を求める。扇形の半径は10cmであり、中心角は90度であるから、扇形の面積は$\pi \times 10^2 \times \frac{90}{360} = 3.14 \times 100 \times \frac{1}{4} = 78.5$ cm$^2$である。

したがって、色をつけた部分の面積は、$100 - 78.5 = 21.5$ cm$^2$である。

(2) 図2における「ア」の弧の長さと「イ」の弧の長さの比を求める。

正方形の対角線の長さは、$10\sqrt{2}$ cmである。

「ア」の弧の半径は、正方形の一辺の長さの半分なので5cmである。「ア」の中心角は90度である。

「イ」の弧の半径は、正方形の対角線の長さから正方形の一辺の長さを引いた長さなので、$10\sqrt{2} - 10 = 10(\sqrt{2} - 1)$ cmである。「イ」の中心角も90度である。

弧の長さは$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$ で求められる。ここで、rは半径、$\theta$ は中心角である。

「ア」の弧の長さは、$2\pi \times 5 \times \frac{90}{360} = 2\pi \times 5 \times \frac{1}{4} = \frac{5\pi}{2}$

「イ」の弧の長さは、$2\pi \times 10(\sqrt{2} - 1) \times \frac{90}{360} = 2\pi \times 10(\sqrt{2} - 1) \times \frac{1}{4} = 5\pi(\sqrt{2} - 1)$

よって、比は、$\frac{5\pi}{2} : 5\pi(\sqrt{2} - 1)$

$= \frac{1}{2} : (\sqrt{2} - 1)$

$= 1 : 2(\sqrt{2} - 1) = 1 : (2\sqrt{2}-2)$

比を最も簡単な整数比に表すことを考えると、「ア」の弧の中心角は90度なので、

「ア」の弧の長さは、$2\pi \times 5 \times \frac{90}{360}=2.5\pi$

「イ」の弧の中心角も90度なので、「イ」の弧の長さは$2\pi \times (10\sqrt{2} - 10) \times \frac{90}{360} = \pi(5\sqrt{2} - 5)$

比は、$2.5\pi : \pi(5\sqrt{2}-5) = 2.5:5\sqrt{2}-5 = 1:2\sqrt{2}-2 \approx 1:0.8284$

この比を整数比にするのは難しい。

正方形の対角線と、正方形の一辺の長さの比は、$10\sqrt{2}:10=\sqrt{2}:1$である。

またアの円弧とイの円弧は中心角が同じ(90度)なので、半径の比がそのまま円弧の長さの比になる。

アの半径は5cmである。

イの半径は、正方形の対角線から正方形の一辺の長さを引いた長さなので、$10\sqrt{2}-10=10(\sqrt{2}-1)$ cmである。

比は、5:$10\sqrt{2}-10$ = 1:$2\sqrt{2}-2$

問題文より、最も簡単な整数の比で表すとあるので、他に解き方がある。

「ア」の中心角は９０度で、「イ」の中心角も90度である。

「ア」の半径は５である。

「イ」の半径は $10\sqrt{2}-10$ であり、対角線の長さから正方形の一辺の長さを引いたものなので、$10(\sqrt{2}-1)$になる。

もし、図において、対角線と正方形の辺の交点をみると、アの弧とイの弧の和は、正方形の対角線になっているので、この長さを考えることにする。

対角線は$10\sqrt{2}$である。アの弧とイの弧の比を簡単にするためには、正方形の辺と正方形の対角線の関係を考える。

「ア」の弧の長さ　：　「イ」の弧の長さ　= 半径の比なので

5 ：　$10(\sqrt{2}-1)$ = 1 : $2\sqrt{2}-2$ = 10 : $20\sqrt{2}-20$　= 10: 8.28

整数比にできるのだろうか。

アの弧の長さの半径5、イの弧の長さの半径$10(\sqrt{2}-1)$であることを考えると、

アの弧は元の正方形の一辺の長さの半分である。

比は 1:($2\sqrt{2}-2$)

(1)の答えは21.5

(2)の答えは、$1:(\sqrt{2}-1)$ が考えられるが、整数比ではないので、違う可能性が高い。

図を正確に見る限り、アの方が少し大きく見える。仮に整数比だとしたら、3:2 か 4:3 になりそうだが、

厳密な値ではないので、これは違う。

問題文に「最も簡単な整数の比で表すと」とあるので、この形式で答える必要がある。アとイの長さの比は、$1:2\sqrt{2}-2$では整数比ではないので、やはりこのアプローチは間違い。他に簡単な解法がないか。

3. 最終的な答え

(1) 21.5

(2) 1: (2√2 - 2)

再度、解答を見直した結果、(2)において、弧の長さの比は半径の比に等しいこと、および、図形の対称性を利用することで、解を導き出すことが出来ました。

1. 問題の内容

図1において、正方形から扇形を引いた部分の面積を求める。また、図2において、「ア」の弧の長さと「イ」の弧の長さの比を最も簡単な整数比で表す。正方形の一辺の長さは10cmであり、円周率は3.14とする。

2. 解き方の手順

(1) 図1の色をつけた部分の面積を求める。

まず、正方形の面積を求める。これは$10 \times 10 = 100$ cm$^2$である。

次に、扇形の面積を求める。扇形の半径は10cmであり、中心角は90度であるから、扇形の面積は$\pi \times 10^2 \times \frac{90}{360} = 3.14 \times 100 \times \frac{1}{4} = 78.5$ cm$^2$である。

したがって、色をつけた部分の面積は、$100 - 78.5 = 21.5$ cm$^2$である。

(2) 図2における「ア」の弧の長さと「イ」の弧の長さの比を求める。

正方形の一辺の長さは10cmである。「ア」の弧の半径は5cmである。

「イ」の弧の半径は、$10\sqrt{2} - 10 = 10(\sqrt{2} - 1)$ cmである。

弧の長さの比は半径の比に等しいので、「ア」の弧の長さ:「イ」の弧の長さ = $5 : (10\sqrt{2} - 10) = 5 : 10(\sqrt{2}-1) = 1:2(\sqrt{2}-1)$.

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2(\sqrt{2}-1) \approx 2(1.414 - 1) = 2(0.414) = 0.828$

$2\sqrt{2} - 2$ が1に近いことから、$2\sqrt{2} - 2$を整数にするには$2 \sqrt{2} +2$をかける。

$(2\sqrt{2}-2)(2 \sqrt{2}+2)$ = $4 * 2 - 4 = 4$

別解

アの半径5。イの半径、$10(\sqrt{2}-1)$。

アの弧の長さ : イの弧の長さ ＝ 半径の比

5 : ($10\sqrt{2}-10$)=1:($2\sqrt{2}-2$) = 1:$2(\sqrt{2}-1)$。

簡単にするために($\sqrt{2}+1$)をかける。1*($\sqrt{2}+1$) : $2(\sqrt{2}-1)$*($\sqrt{2}+1$)

=($\sqrt{2}+1$) : $2(2-1)$ = ($\sqrt{2}+1$) : 2

3. 最終的な答え

(1) 21.5 cm$^2$

(2) $\sqrt{2}+1$ : 2

別の解法を試してみます。

(2)図2について

アの長さとイの長さを足すと、正方形の対角線になる。

アの中心角とイの中心角は同じ。

正方形の対角線は10√2

アの長さをxと置くと、イの長さは10√2 - xとなる。

求める比はx : 10√2 - x

比が簡単な整数比になるようなxを探す。

対角線を引いた正方形の中に内接する円の中心は、正方形の中心にある。

この円と対角線が交わるところが、アとイの境界になる。

円の半径は5なので、円の方程式は

(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25

直線の方程式はy = x

これを解くと x = 5

y = 5

この交点から正方形の頂点までの距離を求めると、

√50 = 5√2

この方法はうまくいかない。

最終手段として、

「ア」と「イ」の半径がわかっているので、角度を考慮すると

ア：イ　＝　1 : 2($\sqrt{2}$-1)

ここで、電卓を使って$\sqrt{2}$を計算し、1.414で近似する。

ア：イ　＝　１:2(1.414 - 1) = 1 : 2(0.414) = 1:0.828

これを整数比にするために、互いに素な整数になるまで割り切れる数を探すと、ない。

したがって、これは整数比にできない。

最終的な判断として、問題文に「最も簡単な整数の比で表すと」とあるにも関わらず、整数比で表せない可能性が高い。

最終的な答え

(1) 21.5 cm$^2$

(2) 5 : $10(\sqrt{2}-1)$

または 1 : $2(\sqrt{2}-1)$

または 1 : ($2.828 - 2$)

または 1 : 0.828

2024/05/06 16:31 に最後の回答を追加

2. 解き方の手順(2)の修正

問題文を再度読み込むと、「アの長さとイの長さの比を最も簡単な整数の比で表すと」とある。これは比を近似することを意味しない。比はあくまで厳密な値で求め、その上で最も簡単な整数比にする必要がある。

アの弧の半径は5

イの弧の半径は$10\sqrt{2} - 10$

ア:イ= 5 : ($10\sqrt{2} - 10$)

= 1 : (2√2 - 2)

ここで, $2\sqrt{2} - 2$に何かをかけて整数にすることを考える。

$(2\sqrt{2} - 2) \times (a\sqrt{2} + b) = c$ (cは整数)

$4a + 2b\sqrt{2} - 2a\sqrt{2} - 2b = c$

$(4a - 2b) + (2b - 2a)\sqrt{2} = c$

無理数部分を消すには, $2b - 2a = 0$である必要があるので, $a = b$

$(4a - 2a) = c$

$2a = c$

$a = c/2$

$a = b = 1$とすると、$2\sqrt{2} - 2$にかける数は $\sqrt{2} + 1$になる。

(1 : $2\sqrt{2} - 2$) * ($\sqrt{2} + 1$)

$\sqrt{2} + 1 : (2\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 1)$

$\sqrt{2} + 1 : 2(2 - 1)$

$\sqrt{2} + 1 : 2$

解答

3. 最終的な答え

(1) 21.5 cm$^2$

(2) $\sqrt{2} + 1$ : 2