半径6の球に高さ10の円錐が内接している。球の体積を $\frac{4}{3}\pi r^3$ とするとき、球と円錐の体積の比を求める。

1. 問題の内容

半径6の球に高さ10の円錐が内接している。球の体積を $\frac{4}{3}\pi r^3$ とするとき、球と円錐の体積の比を求める。

2. 解き方の手順

まず、球の体積を計算します。半径 $r=6$ なので、球の体積 $V_{球}$ は、

$V_{球} = \frac{4}{3}\pi (6^3) = \frac{4}{3}\pi (216) = 288\pi$

次に、円錐の体積を計算します。円錐の体積 $V_{円錐}$ は、底面積 $\times$ 高さ $\times \frac{1}{3}$ で求められます。

円錐の高さは10と与えられています。底面の半径を $r_{底}$ とすると、$r_{底}^2 + (10-6)^2 = 6^2$ が成り立ちます。

$r_{底}^2 + 4^2 = 36$

$r_{底}^2 = 36 - 16 = 20$

$r_{底} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

したがって、円錐の底面積は $S_{底} = \pi r_{底}^2 = \pi (2\sqrt{5})^2 = 20\pi$

円錐の体積は $V_{円錐} = \frac{1}{3} \times S_{底} \times 高さ = \frac{1}{3} \times 20\pi \times 10 = \frac{200\pi}{3}$

球と円錐の体積の比は $V_{球} : V_{円錐} = 288\pi : \frac{200\pi}{3} = 288 : \frac{200}{3} = 288 \times 3 : 200 = 864 : 200$

これを簡単にするために、両方を8で割ると、

$864 / 8 = 108$

$200 / 8 = 25$

したがって、比は $108 : 25$

3. 最終的な答え

5. 108:25