3点A(1, 2), B(4, 0), C(3, 4)が与えられたとき、これらの点を頂点とする平行四辺形の残りの頂点Dの座標をベクトルを用いて求める。

1. 問題の内容

3点A(1, 2), B(4, 0), C(3, 4)が与えられたとき、これらの点を頂点とする平行四辺形の残りの頂点Dの座標をベクトルを用いて求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCD、ABDC、ACBDを考えることができる。それぞれのケースについて、ベクトルを用いて点Dの座標を求める。

ケース1：平行四辺形ABCDの場合

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$となる。

$\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Dの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$

よって、

$x-1 = -1$より$x = 0$

$y-2 = 4$より$y = 6$

したがって、D(0, 6)

ケース2：平行四辺形ABDCの場合

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$となる。

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Dの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} x-4 \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

よって、

$x-4 = 2$より$x = 6$

$y-0 = 2$より$y = 2$

したがって、D(6, 2)

ケース3：平行四辺形ACBDの場合

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$となる。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Dの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} x-3 \\ y-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

よって、

$x-3 = 3$より$x = 6$

$y-4 = -2$より$y = 2$

したがって、D(6, 2) (これはケース2と同じ)

ケース4：平行四辺形ADBCの場合

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$となる。

$\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 4-3 \\ 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$

Dの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$

よって、

$x-1 = 1$より$x = 2$

$y-2 = -4$より$y = -2$

したがって、D(2, -2)

ケース5：平行四辺形CADBの場合

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BD}$となる。

$\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

Dの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} x-4 \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \end{pmatrix}$

よって、

$x-4 = -2$より$x = 2$

$y-0 = -2$より$y = -2$

したがって、D(2, -2) (これはケース4と同じ)

ケース6：平行四辺形CDABの場合

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$となる。

$\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Dの座標を(x, y)とすると、

$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} x-3 \\ y-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$

よって、

$x-3 = -3$より$x = 0$

$y-4 = 2$より$y = 6$

したがって、D(0, 6) (これはケース1と同じ)

異なるDの座標は(0, 6), (6, 2), (2, -2)の3つ。

3. 最終的な答え

D(0, 6), D(6, 2), D(2, -2)