関数 $y = \log_3 x + 3\log_x 3$ ($x>1$) の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_3 x + 3\log_x 3$ ($x>1$) の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_x 3$ を底の変換公式を用いて $\log_3 x$ で表します。

$\log_x 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = \frac{1}{\log_3 x}$

したがって、$y$ は次のように書き換えられます。

$y = \log_3 x + \frac{3}{\log_3 x}$

ここで、$t = \log_3 x$ とおきます。$x>1$ より、$t>0$ です。

すると、$y$ は $t$ の関数として次のように表されます。

$y = t + \frac{3}{t}$

$t>0$ の範囲で、$y$ の最小値を求めるために、相加平均・相乗平均の関係を利用します。

$t>0$ なので、$t$ と $\frac{3}{t}$ は正です。したがって、

$\frac{t + \frac{3}{t}}{2} \geq \sqrt{t \cdot \frac{3}{t}} = \sqrt{3}$

$t + \frac{3}{t} \geq 2\sqrt{3}$

等号成立は $t = \frac{3}{t}$ のとき、つまり $t^2 = 3$ のときです。

$t>0$ より、$t = \sqrt{3}$

$t = \log_3 x = \sqrt{3}$ なので、$x = 3^{\sqrt{3}}$

したがって、$y$ の最小値は $2\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$