与えられた循環小数を分数で表す問題です。今回は、(1) $0.\dot{4}$、(2) $0.\dot{7}\dot{9}$、(3) $0.\dot{4}5\dot{6}$、(4) $-3.\dot{9}7\dot{2}$ の4つの循環小数をそれぞれ分数で表します。

1. 問題の内容

与えられた循環小数を分数で表す問題です。今回は、(1) $0.\dot{4}$、(2) $0.\dot{7}\dot{9}$、(3) $0.\dot{4}5\dot{6}$、(4) $-3.\dot{9}7\dot{2}$ の4つの循環小数をそれぞれ分数で表します。

2. 解き方の手順

循環小数を分数で表す一般的な手順は以下の通りです。

(1) $0.\dot{4}$ の場合:

$x = 0.\dot{4}$ とおきます。つまり、$x = 0.4444\dots$ です。

$10x = 4.4444\dots$

$10x - x = 4.4444\dots - 0.4444\dots = 4$

$9x = 4$

$x = \frac{4}{9}$

(2) $0.\dot{7}\dot{9}$ の場合:

$x = 0.\dot{7}\dot{9}$ とおきます。つまり、$x = 0.797979\dots$ です。

$100x = 79.797979\dots$

$100x - x = 79.797979\dots - 0.797979\dots = 79$

$99x = 79$

$x = \frac{79}{99}$

(3) $0.\dot{4}5\dot{6}$ の場合:

$x = 0.\dot{4}5\dot{6}$ とおきます。つまり、$x = 0.456456456\dots$ です。

$1000x = 456.456456456\dots$

$1000x - x = 456.456456456\dots - 0.456456456\dots = 456$

$999x = 456$

$x = \frac{456}{999} = \frac{152}{333}$

(4) $-3.\dot{9}7\dot{2}$ の場合:

$x = -3.\dot{9}7\dot{2}$ とおきます。つまり、$x = -3.972972972\dots$ です。

$x = -3 - 0.\dot{9}7\dot{2}$ と分けて考えます。

$y = 0.\dot{9}7\dot{2}$ とおきます。つまり、$y = 0.972972972\dots$ です。

$1000y = 972.972972972\dots$

$1000y - y = 972.972972972\dots - 0.972972972\dots = 972$

$999y = 972$

$y = \frac{972}{999} = \frac{36}{37}$

$x = -3 - \frac{36}{37} = -\frac{3 \times 37}{37} - \frac{36}{37} = -\frac{111}{37} - \frac{36}{37} = -\frac{147}{37}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{79}{99}$

(3) $\frac{152}{333}$

(4) $-\frac{147}{37}$