硬貨を使って支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。 (1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚

1. 問題の内容

硬貨を使って支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚

2. 解き方の手順

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の枚数は0枚から4枚の5通り

50円硬貨の枚数は0枚から1枚の2通り

100円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通り

全ての場合の数は $5 \times 2 \times 4 = 40$ 通り

ただし、全て0枚の場合(0円)は除くので、40-1=39通り。

ここで、重複する金額がないか確認します。

10円5枚で50円になるので、50円硬貨を使わずに、10円硬貨だけで50円を作ることはできません。

よって、重複する金額はありません。

したがって、39通り。

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の枚数は0枚から2枚の3通り

50円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通り

100円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通り

全ての場合の数は $3 \times 4 \times 4 = 48$ 通り

ただし、全て0枚の場合(0円)は除くので、48-1=47通り。

ここで、重複する金額がないか確認します。

10円5枚で50円になるので、50円硬貨を使わずに、10円硬貨だけで50円を作ることはできません。

50円2枚で100円になるので、100円硬貨を使わずに、50円硬貨だけで100円を作れないか確認します。

10円硬貨は2枚までしかないので、50円硬貨だけで100円を作る以外の重複は考えなくて良いです。

100円1枚を50円硬貨2枚で表す事ができるため、重複している金額が存在します。

100円硬貨1枚と50円硬貨2枚が同じ金額なので、100円硬貨1枚を50円硬貨2枚で置き換えることができる組み合わせの数を数えます。

10円硬貨は0枚から2枚の3通り。

50円硬貨は0枚から1枚の2通り。(2枚使うパターンは100円硬貨1枚としてカウントされる)

100円硬貨は1枚。(2枚使うパターンは別途カウントされる)

$3 \times 2 \times 1 = 6$

100円硬貨1枚, 50円硬貨2枚, 10円硬貨0枚

100円硬貨1枚, 50円硬貨2枚, 10円硬貨1枚

100円硬貨1枚, 50円硬貨2枚, 10円硬貨2枚

100円硬貨1枚, 50円硬貨1枚, 10円硬貨0枚

100円硬貨1枚, 50円硬貨1枚, 10円硬貨1枚

100円硬貨1枚, 50円硬貨1枚, 10円硬貨2枚

100円硬貨1枚と50円硬貨2枚を入れ替えるパターンは重複するので、6通りを引く必要があります。

ただし、100円硬貨0枚、50円硬貨0枚、10円硬貨0枚はすでに除外しているので、引く必要はありません。

$47 - x =$

重複分を引く必要があります。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り