問題91は、1から100までの自然数の中で、与えられた条件を満たす数が何個あるかを問う問題です。 (1) 8の倍数 (2) 12の倍数 (3) 8で割り切れない数 (4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数 (5) 8でも12でも割り切れない数 (6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数 問題92は、大、中、小3個のさいころを投げたとき、目の和が7になる場合は何通りあるかを問う問題です。

1. 問題の内容

問題91は、1から100までの自然数の中で、与えられた条件を満たす数が何個あるかを問う問題です。

(1) 8の倍数

(2) 12の倍数

(3) 8で割り切れない数

(4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数

(5) 8でも12でも割り切れない数

(6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数

問題92は、大、中、小3個のさいころを投げたとき、目の和が7になる場合は何通りあるかを問う問題です。

2. 解き方の手順

問題91:

(1) 1から100までの8の倍数の個数を求めます。 $100 ÷ 8 = 12.5$ なので、8の倍数は12個です。

(2) 1から100までの12の倍数の個数を求めます。$100 ÷ 12 = 8.333...$ なので、12の倍数は8個です。

(3) 1から100までの自然数は100個あります。8で割り切れる数（8の倍数）は12個なので、8で割り切れない数は$100 - 12 = 88$個です。

(4) 8の倍数かつ12の倍数である数は、8と12の最小公倍数の倍数です。8と12の最小公倍数は24なので、1から100までの24の倍数の個数を求めます。$100 ÷ 24 = 4.166...$ なので、24の倍数は4個です。8の倍数である数は12個なので、8の倍数であるが12の倍数でない数は $12 - 4 = 8$ 個です。

(5) 8の倍数または12の倍数の個数を求めます。8の倍数は12個、12の倍数は8個、8の倍数かつ12の倍数（24の倍数）は4個なので、8の倍数または12の倍数の個数は$12 + 8 - 4 = 16$個です。8でも12でも割り切れない数は、$100 - 16 = 84$個です。

(6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数を求めます。これは「8の倍数ではない」数と「12の倍数ではない」数の和集合の要素数を求めることになります。全体から「8の倍数かつ12の倍数」である数を引けば良いです。

$100 -$「8の倍数かつ12の倍数」は8と12の最小公倍数である24の倍数なので、$100 - 4 = 96$個

もしくは、「8で割り切れない数」+「12で割り切れない数」－「8でも12でも割り切れない数」と考え、$88 + 92 - 84 = 96$個。

ここで1から100の12の倍数でない数は $100-8=92$

問題92:

大中小のさいころの出目をそれぞれa, b, cとすると、$a + b + c = 7$となる組み合わせを求めます。ただし、a, b, cは1から6までの整数です。

まず、a=1の場合、b+c=6となる組み合わせは(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)の5通り。

a=2の場合、b+c=5となる組み合わせは(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)の4通り。

a=3の場合、b+c=4となる組み合わせは(1,3), (2,2), (3,1)の3通り。

a=4の場合、b+c=3となる組み合わせは(1,2), (2,1)の2通り。

a=5の場合、b+c=2となる組み合わせは(1,1)の1通り。

a=6の場合、b+c=1となる組み合わせはありません。

したがって、合計で$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$通りです。

3. 最終的な答え

問題91:

(1) 12個

(2) 8個

(3) 88個

(4) 8個

(5) 84個

(6) 96個

問題92:

15通り