1個10円、30円、70円のあめ玉がそれぞれあり、どの種類も最低1個は買うものとして、合計230円になる買い方は何通りあるか。

## 問題36

1. 問題の内容

1個10円、30円、70円のあめ玉がそれぞれあり、どの種類も最低1個は買うものとして、合計230円になる買い方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

10円のあめ玉を$x$個、30円のあめ玉を$y$個、70円のあめ玉を$z$個買うとします。

条件より、$x, y, z$は自然数でなければなりません。

合計金額が230円なので、以下の式が成り立ちます。

$10x + 30y + 70z = 230$

両辺を10で割ると、

$x + 3y + 7z = 23$

$x = 23 - 3y - 7z$

$x, y, z$は自然数なので、$x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$を満たす必要があります。

$x \ge 1$より、

$23 - 3y - 7z \ge 1$

$3y + 7z \le 22$

$y \ge 1, z \ge 1$なので、$3y + 7z \le 22$を満たす$y, z$の組み合わせを考えます。

* $z = 1$のとき:

$3y \le 22 - 7 = 15$

$y \le 5$

$y$は自然数なので、$y = 1, 2, 3, 4, 5$の5通り。

それぞれについて、$x = 23 - 3y - 7$を計算すると、

$y=1$のとき、$x = 23 - 3 - 7 = 13$

$y=2$のとき、$x = 23 - 6 - 7 = 10$

$y=3$のとき、$x = 23 - 9 - 7 = 7$

$y=4$のとき、$x = 23 - 12 - 7 = 4$

$y=5$のとき、$x = 23 - 15 - 7 = 1$

* $z = 2$のとき:

$3y \le 22 - 14 = 8$

$y \le \frac{8}{3} = 2.66...$

$y$は自然数なので、$y = 1, 2$の2通り。

それぞれについて、$x = 23 - 3y - 14$を計算すると、

$y=1$のとき、$x = 23 - 3 - 14 = 6$

$y=2$のとき、$x = 23 - 6 - 14 = 3$

* $z = 3$のとき:

$3y \le 22 - 21 = 1$

$y \le \frac{1}{3}$

これを満たす自然数$y$は存在しない。

したがって、条件を満たす自然数の組$(x, y, z)$は、

(13, 1, 1), (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (1, 5, 1), (6, 1, 2), (3, 2, 2)

の7組。

3. 最終的な答え

7通り