$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$2 - \sqrt{2}$ と $\sqrt{8}$ が無理数であることを証明します。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$2 - \sqrt{2}$ と $\sqrt{8}$ が無理数であることを証明します。

2. 解き方の手順

(1) $2 - \sqrt{2}$ が無理数であることの証明

背理法を使います。$2 - \sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、$2 - \sqrt{2} = r$ (rは有理数)と表せます。この式を変形すると、$\sqrt{2} = 2 - r$ となります。$2 - r$ は有理数なので、$\sqrt{2}$ も有理数であることになります。しかし、これは $\sqrt{2}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。したがって、$2 - \sqrt{2}$ は無理数です。

(2) $\sqrt{8}$ が無理数であることの証明

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ と変形できます。

背理法を使います。$\sqrt{8}$ が有理数であると仮定すると、$\sqrt{8} = r$ （rは有理数）とおけます。

すると、$2\sqrt{2} = r$ となります。この式を変形すると、$\sqrt{2} = \frac{r}{2}$ となります。$r$ が有理数なので、$\frac{r}{2}$ も有理数です。したがって、$\sqrt{2}$ が有理数であることになります。これは $\sqrt{2}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。したがって、$\sqrt{8}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

(1) $2 - \sqrt{2}$ は無理数である。

(2) $\sqrt{8}$ は無理数である。