全体集合Uの部分集合A, Bについて、n(U) = 100, n(A) = 36, n(B) = 42, n(A∩B) = 15であるとき、次の個数を求めます。 (5) $n(A \cup B)$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

全体集合Uの部分集合A, Bについて、n(U) = 100, n(A) = 36, n(B) = 42, n(A∩B) = 15であるとき、次の個数を求めます。

(5) $n(A \cup B)$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(5) $n(A \cup B)$ について

和集合の要素の個数の公式は次の通りです。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 36 + 42 - 15 = 63$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ について

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$が成り立ちます。

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$となります。

また、補集合の要素の個数より、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$が成り立ちます。

$n(U) = 100$であり、$n(A \cup B) = 63$なので、

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 100 - 63 = 37$

3. 最終的な答え

(5) $n(A \cup B) = 63$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$