問題は以下の2つの部分から構成されます。 (1) 正の整数 $a$ に対して、$a^2$ を 3 で割った余りが 0 または 1 であることを示す。 (2) 正の整数 $a$, $b$, $c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a$ と $b$ の少なくとも一方が 3 の倍数であることを示す。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されます。

(1) 正の整数 $a$ に対して、$a^2$ を 3 で割った余りが 0 または 1 であることを示す。

(2) 正の整数 $a$, $b$, $c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a$ と $b$ の少なくとも一方が 3 の倍数であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

整数 $a$ は、ある整数 $k$ を用いて $3k$, $3k+1$, $3k+2$ のいずれかの形で表すことができます。

それぞれの場合について、$a^2$ を 3 で割った余りを計算します。

* $a = 3k$ のとき: $a^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ なので、$a^2$ を 3 で割った余りは 0。

* $a = 3k+1$ のとき: $a^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ なので、$a^2$ を 3 で割った余りは 1。

* $a = 3k+2$ のとき: $a^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ なので、$a^2$ を 3 で割った余りは 1。

したがって、$a^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 です。

(2)

$a$ と $b$ の少なくとも一方が 3 の倍数であることを示すために、背理法を用います。

$a$ も $b$ も 3 の倍数ではないと仮定します。すると、$a^2$ と $b^2$ を 3 で割った余りはどちらも 1 です（(1)より）。

したがって、$a^2 + b^2$ を 3 で割った余りは $1 + 1 = 2$ となります。

一方、$c^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 です（(1)より）。

$a^2 + b^2 = c^2$ なので、$a^2 + b^2$ と $c^2$ を 3 で割った余りは等しくなければなりません。

しかし、$a^2 + b^2$ を 3 で割った余りは 2 であり、$c^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 であるため、矛盾が生じます。

したがって、$a$ と $b$ の少なくとも一方は 3 の倍数でなければなりません。

3. 最終的な答え

(1) $a^2$ を 3 で割った余りは 0 または 1 である。

(2) $a$ と $b$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。